Integrar as seguintes equações diferenciais:
10. [1,0]
10. [1,0]
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação do tipo . Isso está dentro do assunto de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. Observando o lado direito da equação , percebemos que a função forçante é um produto de polinômio, funções trigonométricas e exponencial. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Nos casos assim, assumimos uma forma para
que espelha a função forçante. Então, vamos supor:
Onde
,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação original:
Primeira derivada (
):
Segunda derivada (
):
Agora, substituímos
,
e
na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para
,
,
e
.
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de
,
,
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.