Integrar as seguintes equações diferenciais:
10. [1,0]
y^prime prime+4 y=(6 x cos x-10 sen x) e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação do tipo . Isso está dentro do assunto de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é r^2 + 4 = 0 implies r = pm 2i . Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
yh(x) = C1 cos(2x) + C2 sen(2x)
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp(x) = e^x [ (A x + B) cos x + (C x + D) sen x ] ) para a equação completa. Observando o lado direito da equação , percebemos que a função forçante é um produto de polinômio, funções trigonométricas e exponencial. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Nos casos assim, assumimos uma forma para que espelha a função forçante. Então, vamos supor:
Onde , , e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp' = e^x [ (A x + B) cos x + (C x + D) sen x ] + e^x [ (A - A x - B) sen x + (C x + D) cos x ] necessárias para substituir na equação original:
Primeira derivada ( yp'' = e^x [ (A x + B) cos x + (C x + D) sen x ] + 2e^x [ (A - A x - B) sen x + (C x + D) cos x ] + e^x [ (-2A x - 2B - C x - D) cos x + (-2C x - 2D + A x + B) sen x ] ):
Segunda derivada ( ):
Agora, substituímos , e na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para , , e .
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de , , e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde y(x) = C1 cos(2x) + C2 sen(2x) + e^x [ ( 32x + 12 ) cos x + ( -2x - 1 ) sen x ] e são constantes arbitrárias.

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