Integrar as seguintes equações diferenciais:
9. [1,0]
y^prime prime-2 y^prime+y=(12 x^2+4) e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
y'' - 2 y' + y = (12 x^2 + 4) e^-x
Aqui, a gente está lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. O que vamos precisar é encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
y'' - 2 y' + y = 0
Para isso, a gente monta a equação característica associada:
r^2 - 2 r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
r = 2 pm raiz4 - 42 = 1
Obtemos uma raiz dupla em .

Passo 3

Com essa raiz dupla, a solução da parte homogênea é:
yh = (C1 + C2 x) e^x
Aqui, e são constantes que determinamos pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo yp = e^-x (A x^2 + B x + C) . Como o lado direito tem um polinômio multiplicado por , vamos supor uma solução da forma:
Onde , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 5

Calculando as derivadas de yp' = e^-x ( (2A x + B) ) - e^-x (A x^2 + B x + C ) :
Primeira derivada:
yp'' = e^-x (2A) - 2 e^-x (2A x + B) + e^-x (A x^2 + B x + C )
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo yp'' - 2 yp' + yp = (12 x^2 + 4) e^-x , A = -1, B = -2, C = 2 e na equação original:
Depois de simplificar os termos e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de , encontramos:

Passo 7

Então, a solução particular fica:
yp = e^-x (-x^2 - 2x + 2)

Passo 8

Finalmente, juntando a solução homogênea e a particular, a solução geral da equação é:
y = (C1 + C2 x) e^x + e^-x (-x^2 - 2x + 2)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (C1 + C2 x) e^x + e^-x (-x^2 - 2x + 2)

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