Integrar as seguintes equações diferenciais:
9.
9.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui, a gente está lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. O que vamos precisar é encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Obtemos uma raiz dupla em
.
Passo 3
Com essa raiz dupla, a solução da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo
. Como o lado direito tem um polinômio multiplicado por
, vamos supor uma solução da forma:
Onde
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original:
Depois de simplificar os termos e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de
, encontramos:
Passo 7
Então, a solução particular fica:
Passo 8
Finalmente, juntando a solução homogênea e a particular, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: