Dados
. Utilizando as propriedades da Adição e da Multiplicação em
, mostre que se tem, :
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se tira o cubo de um número negativo em $\mathbb{Z}$, o resultado é igual ao oposto do cubo do número positivo. O conteúdo envolve propriedades de associatividade, comutatividade e a definição de elemento inverso aditivo e do $-1$ em $\mathbb{Z}$.
Passo 2
Lembrando que para qualquer \a\ em $\mathbb{Z}$ vale $-a = (-1) \cdot a$. Então podemos reescrever $(-a)^3$ como um produto de três fatores:
$$
(-a)^3 = \bigl((-1) \cdot a\bigr) \cdot \bigl((-1) \cdot a\bigr) \cdot \bigl((-1) \cdot a\bigr)
$$
(-a)^3 = \bigl((-1) \cdot a\bigr) \cdot \bigl((-1) \cdot a\bigr) \cdot \bigl((-1) \cdot a\bigr)
$$
Passo 3
Usando a associatividade e comutatividade da multiplicação em $\mathbb{Z}$, podemos agrupar todos os $-1$ e todos os \a\ juntos:
$$
(-a)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) ;\cdot; a \cdot a \cdot a = (-1)^3 ;\cdot; a^3
$$
(-a)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) ;\cdot; a \cdot a \cdot a = (-1)^3 ;\cdot; a^3
$$
Passo 4
Agora usamos o fato de que $(-1)^2 = 1$ e, portanto, $(-1)^3 = (-1)^2 \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$. Substituindo na expressão:
$$
(-a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 = -1 \cdot a^3 = -(a^3)
$$
(-a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 = -1 \cdot a^3 = -(a^3)
$$
Resposta
$(-a)^3 = -(a^3)$