Mostre, para quaisquer a, b, c, d in Z, que:
Se c >= 0, então a <= b Leftrightarrow a c <= b c.

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar que, em Z, multiplicar por um inteiro c>=0 preserva a ordem dos números, ou seja, a<= b se e somente se ac<= bc. Para isso, vamos usar a definição de desigualdade em inteiros, que afirma que a<= b se existe um kinZ, k>=0, tal que b=a+k, além das propriedades básicas da multiplicação.

Passo 2

Para provar a implicação direta ( Rightarrow), suponha a<= b. Então existe kinZ, k>=0, com b=a+k. Multiplicando ambos os lados por c obtemos bc=(a+k)c=ac+kc. Como k>=0 e c>=0, segue que kc>=0, logo ac<= bc.

Passo 3

Agora provamos a implicação inversa ( Leftarrow). Suponha ac<= bc. Então existe minZ, m>=0, tal que bc=ac+m. Desse modo, (b-a)c=m. Como estamos em c>0, podemos dividir ambos os lados por c e obter b-a=tfracmc. Da igualdade (b-a)c=m segue que c divide m, então m/cinZ e m/c>=0. Logo b-a>=0, ou seja, a<= b.

Passo 4

Com isso, mostramos tanto a<= bRightarrow ac<= bc quanto ac<= bcRightarrow a<= b, concluindo que, para todo c>=0 em Z, vale a equivalência a<= biff ac<= bc.

Resposta

Para c>=0, multiplicar por c preserva a ordem em Z, isto é, a<= b se e somente se ac<= bc.

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