Mostre, para quaisquer
, que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
Neste exercício queremos mostrar que, em
, multiplicar por um inteiro
preserva a ordem dos números, ou seja,
se e somente se
. Para isso, vamos usar a definição de desigualdade em inteiros, que afirma que
se existe um
,
, tal que
, além das propriedades básicas da multiplicação.
Passo 2
Para provar a implicação direta (
), suponha
. Então existe
,
, com
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
. Como
e
, segue que
, logo
.
Passo 3
Agora provamos a implicação inversa (
). Suponha
. Então existe
,
, tal que
. Desse modo,
. Como estamos em
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
. Da igualdade
segue que
divide
, então
e
. Logo
, ou seja,
.
Passo 4
Com isso, mostramos tanto
quanto
, concluindo que, para todo
em
, vale a equivalência
.
Resposta
Para
, multiplicar por
preserva a ordem em
, isto é,
se e somente se
.