Dados
\begin{array}{ll} \mathbf{x}_{1}=\left(\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right), & \mathbf{x}_{2}=\left(\begin{array}{l} 3 \\\\ 4 \\\\ 2 \end{array}\right) \\\ \mathbf{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\\\ 6 \\\\ 6 \end{array}\right), & \mathbf{y}=\left(\begin{array}{r} -9 \\\\ -2 \\\\ 5 \end{array}\right) \end{array}
(a) \mathbf{x} \in \operatorname{Cob}\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right) ?
Demonstre suas respostas.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{x}_{1}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}_{2}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]6\\[2pt]6\end{pmatrix},\qquad \mathbf{y}=\begin{pmatrix}-9\\[2pt]-2\\[2pt]5\end{pmatrix}.
A pergunta (a) é: \mathbf{x}\in\operatorname{Cob}\big(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}\big)?
Ou seja, é pedido demonstrar se o vetor \mathbf{x} pertence ao conjunto \operatorname{Cob}\big(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}\big) fornecido (de acordo com a notação do enunciado).]

Passo 2

O que significa escrever \mathbf{x}\in\operatorname{Cob}\big(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}\big)? Vou explicar de forma direta: tipicamente \operatorname{Cob}\big(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}\big) denota o cone gerado por \mathbf{x}_{1} e \mathbf{x}_{2}, isto é o conjunto de todas as combinações lineares com coeficientes não-negativos. Formalmente,
\operatorname{Cob}\big(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}\big)=\big\{\alpha\mathbf{x}_{1}+\beta\mathbf{x}_{2}\mid \alpha\ge0,\\ \beta\ge0\big\}.
Portanto para decidir se \mathbf{x} pertence a esse conjunto devemos verificar se existem escalares \alpha\ge0 e \beta\ge0 tais que
\alpha\mathbf{x}_{1}+\beta\mathbf{x}_{2}=\mathbf{x}.

Passo 3

Escrevendo a equação componente a componente, com incógnitas \alpha e \beta, obtemos o sistema linear
\begin{cases} -\,\alpha+3\beta=2,\\[4pt] 2\alpha+4\beta=6,\\[4pt] 3\alpha+2\beta=6. \end{cases}
Vou resolver este sistema passo a passo para ver se existe solução e, se existir, verificar a não-negatividade das soluções.]

Passo 4

Da primeira equação isolamos \alpha:
-\,\alpha+3\beta=2 \quad\Rightarrow\quad \alpha=3\beta-2.
Substituindo esse \alpha na segunda equação:
2\alpha+4\beta=6 \quad\Rightarrow\quad 2(3\beta-2)+4\beta=6.
Agora calculamos o lado esquerdo:
2(3\beta-2)+4\beta=6\beta-4+4\beta=10\beta-4.
Igualando a 6 temos
10\beta-4=6 \quad\Rightarrow\quad 10\beta=10 \quad\Rightarrow\quad \beta=1.

Passo 5

Com \beta=1 voltamos à expressão para \alpha:
\alpha=3\beta-2=3\cdot1-2=1.
Logo pelas duas primeiras equações obtemos a possível solução \alpha=1 e \beta=1. Note que esses valores são não-negativos, o que é uma boa pista. Mas ainda falta verificar a terceira equação do sistema.

Passo 6

Substituímos \alpha=1 e \beta=1 na terceira equação:
3\alpha+2\beta=3\cdot1+2\cdot1=3+2=5.
A terceira equação pede que o lado direito seja 6. Como 5\neq6, a solução \alpha=1,\beta=1 não satisfaz a terceira equação. Portanto o sistema inteiro é inconsistente: não existem escalares (reais) \alpha,\beta que satisfaçam simultaneamente as três equações.

Passo 7

Conclusão lógica: não existe \alpha\ge0,\beta\ge0 tais que \alpha\mathbf{x}_{1}+\beta\mathbf{x}_{2}=\mathbf{x}. Na verdade não existe nenhum par real \alpha,\beta que satisfaça todas as três equações, logo \mathbf{x} nem sequer pertence ao subespaço gerado por \mathbf{x}_{1} e \mathbf{x}_{2} (ou seja, não está na sua span), e portanto com certeza não pertence ao cone gerado por eles.

Resposta

\mathbf{x}\notin\operatorname{Cob}\big(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}\big)

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