Seja \left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \ldots, \mathbf{x}_{n}\right\} um conjunto de cobertura para um espaço vetorial V.
(a) Se adicionarmos um outro vetor, \mathbf{x}_{k+1}, ao conjunto, ainda teremos um conjunto de cobertura? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um conjunto \{\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\ldots,\mathbf{x}_{n}\} que é um conjunto de cobertura (ou seja, gera) para um espaço vetorial V.
    A pergunta é:
  • Se adicionarmos mais um vetor \mathbf{x}_{k+1} a esse conjunto, o novo conjunto \{\mathbf{x}_{1},\ldots,\mathbf{x}_{n},\mathbf{x}_{k+1}\} ainda será um conjunto de cobertura para V? Explique.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar claramente o que significa “conjunto de cobertura” (explico passo a passo como se fosse uma definição nova).
  • Um conjunto S de vetores é dito gerar ou cobrir V se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de vetores de S.
  • Mais formalmente, se S=\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\}, então o conjunto de todas as combinações lineares de vetores de S chama-se o span de S, denotado por \operatorname{span}(S).
  • A definição de combinação linear: um vetor \mathbf{v} é combinação linear dos vetores de S se existem escalares a_1,\dots,a_n tais que
\mathbf{v}=a_1\mathbf{x}_1+a_2\mathbf{x}_2+\cdots+a_n\mathbf{x}_n.
  • Dizer que S é um conjunto de cobertura para V é o mesmo que dizer
\operatorname{span}(S)=V.

Passo 3

Agora examine o efeito de adicionar um vetor. Seja
S=\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\} \qquad\text{e}\qquad S' = S\cup\{\mathbf{x}_{k+1}\}=\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_{k+1}\}.
Observe uma propriedade simples e fundamental: se S\subseteq S' então toda combinação linear de vetores de S também é uma combinação linear de vetores de S'. Logo,
\operatorname{span}(S)\subseteq\operatorname{span}(S').
Esta inclusão é direta: qualquer soma a_1\mathbf{x}_1+\cdots+a_n\mathbf{x}_n usa apenas vetores que estão em S', portanto pertence a \operatorname{span}(S').

Passo 4

Usando a hipótese do enunciado, \operatorname{span}(S)=V. Pela inclusão do passo anterior temos
V=\operatorname{span}(S)\subseteq\operatorname{span}(S').
Mas \operatorname{span}(S') é um subespaço de V (o span de qualquer conjunto de vetores vive dentro de V), então não pode ser maior que V. Portanto a inclusão acima força
\operatorname{span}(S')=V.
Isso mostra que S' também gera V, ou seja, é também um conjunto de cobertura.

Passo 5

Vou dar uma intuição com exemplos e comentar um ponto que costuma confundir:
  • Exemplo concreto: em \mathbb{R}^2, S=\{(1,0),(0,1)\} gera \mathbb{R}^2. Se eu adicionar (1,1) obtendo S'=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}, o conjunto continua gerando \mathbb{R}^2 (na verdade já gerava antes). A diferença é que agora S' é linearmente dependente, mas isso não impede que gere o espaço.
  • Observação importante: adicionar vetores nunca “quebra” a propriedade de gerar; no máximo torna o conjunto redundante (introduz dependências lineares). Mesmo se eu adicionar o vetor nulo \mathbf{0} ou um vetor que já era combinação linear dos anteriores, o conjunto continua gerador.

Passo 6

Resumo amigável: adicionar mais vetores a um conjunto que já gera V mantém a propriedade de gerar V. Não há perigo de perder cobertura ao acrescentar vetores — apenas se ganha (pelo menos) a mesma capacidade de gerar, possivelmente com redundância.

Resposta

Sim. O conjunto \{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_{k+1}\} também é conjunto de cobertura de V, pois \operatorname{span}(\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\})=V implica \operatorname{span}(\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\})\subseteq\operatorname{span}(\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_{k+1}\}), logo \operatorname{span}(\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_{k+1}\})=V.

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