Seja
um conjunto de cobertura para um espaço vetorial
.
(a) Se adicionarmos um outro vetor,
, ao conjunto, ainda teremos um conjunto de cobertura? Explique.
(a) Se adicionarmos um outro vetor,
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um conjunto
que é um conjunto de cobertura (ou seja, gera) para um espaço vetorial .
A pergunta é: - Se adicionarmos mais um vetor
a esse conjunto, o novo conjunto ainda será um conjunto de cobertura para ? Explique.
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar claramente o que significa “conjunto de cobertura” (explico passo a passo como se fosse uma definição nova).
- Um conjunto
de vetores é dito gerar ou cobrir se todo vetor de pode ser escrito como combinação linear de vetores de . - Mais formalmente, se
, então o conjunto de todas as combinações lineares de vetores de chama-se o span de , denotado por . - A definição de combinação linear: um vetor
é combinação linear dos vetores de se existem escalares tais que
- Dizer que
é um conjunto de cobertura para é o mesmo que dizer
Passo 3
Agora examine o efeito de adicionar um vetor. Seja
Observe uma propriedade simples e fundamental: se
então toda combinação linear de vetores de
também é uma combinação linear de vetores de
. Logo,
Esta inclusão é direta: qualquer soma
usa apenas vetores que estão em
, portanto pertence a
.
Passo 4
Usando a hipótese do enunciado,
. Pela inclusão do passo anterior temos
Mas
é um subespaço de
(o span de qualquer conjunto de vetores vive dentro de
), então não pode ser maior que
. Portanto a inclusão acima força
Isso mostra que
também gera
, ou seja, é também um conjunto de cobertura.
Passo 5
Vou dar uma intuição com exemplos e comentar um ponto que costuma confundir:
- Exemplo concreto: em
, gera . Se eu adicionar obtendo , o conjunto continua gerando (na verdade já gerava antes). A diferença é que agora é linearmente dependente, mas isso não impede que gere o espaço. - Observação importante: adicionar vetores nunca “quebra” a propriedade de gerar; no máximo torna o conjunto redundante (introduz dependências lineares). Mesmo se eu adicionar o vetor nulo
ou um vetor que já era combinação linear dos anteriores, o conjunto continua gerador.
Passo 6
Resumo amigável: adicionar mais vetores a um conjunto que já gera
mantém a propriedade de gerar
. Não há perigo de perder cobertura ao acrescentar vetores — apenas se ganha (pelo menos) a mesma capacidade de gerar, possivelmente com redundância.
Resposta
Sim. O conjunto
também é conjunto de cobertura de
, pois
implica
, logo
.