Quais dos seguintes conjuntos são coberturas para \mathbb{R}^{3} ? Justifique suas respostas.
(d) \left\{(2,1,-2)^{T},(-2,-1,2)^{T},(4,2,-4)^{T}\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto dado é uma cobertura (isto é, se gera/espalha) \mathbb{R}^{3}. O conjunto fornecido é
\left\{(2,1,-2)^{T},\,(-2,-1,2)^{T},\,(4,2,-4)^{T}\right\}.
Informações que temos — explicitamente — são apenas esses três vetores em \mathbb{R}^{3}. A pergunta pede uma justificativa se esse conjunto gera todo \mathbb{R}^{3} ou não.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa "ser cobertura de \mathbb{R}^{3}". Um conjunto de vetores S é uma cobertura (ou gera \mathbb{R}^{3}) quando todo vetor x\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S. Em símbolos:
\text{Span}(S)=\mathbb{R}^{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{R}^{3},\\ \exists \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ x=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3.
Uma maneira prática de testar isso é verificar a independência linear ou o posto (rank) dos vetores: se o espaço gerado tem dimensão 3 (posto 3) então gera \mathbb{R}^{3}; se o posto for menor que 3 então não gera \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Vou nomear os vetores para ficar mais claro:
v_1=(2,1,-2)^T,\qquad v_2=(-2,-1,2)^T,\qquad v_3=(4,2,-4)^T.
Observar se há relações simples entre eles. Calculo multiplicações escalares de v_1:
-1\cdot v_1 = -1\cdot(2,1,-2)^T = (-2,-1,2)^T = v_2,
2\cdot v_1 = 2\cdot(2,1,-2)^T = (4,2,-4)^T = v_3.
Portanto v_2=-v_1 e v_3=2v_1. Isso mostra imediatamente que os três vetores são múltiplos entre si (todos colineares).

Passo 4

Da observação anterior segue que qualquer combinação linear dos três vetores é um múltiplo de v_1. De fato, para coeficientes \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R} temos
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 = \alpha_1 v_1+\alpha_2(-v_1)+\alpha_3(2v_1) = (\alpha_1-\alpha_2+2\alpha_3)\,v_1.
Logo
\text{Span}\{v_1,v_2,v_3\}=\text{Span}\{v_1\}=\{t\,v_1 : t\in\mathbb{R}\},
que é um subespaço de dimensão 1 (uma reta através da origem), e não um subespaço de dimensão 3.

Passo 5

Como o espaço gerado tem dimensão 1, ele não pode ser igual a \mathbb{R}^{3} (que tem dimensão 3). Portanto o conjunto não é cobertura de \mathbb{R}^{3}.
Para ver explicitamente que nem mesmo um vetor simples como e_2=(0,1,0)^T pertence ao span: se existisse \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 = e_2,
então pelo passo anterior o lado esquerdo seria um múltiplo de v_1, isto é t v_1 para algum t. Assim teríamos t v_1=(0,1,0)^T. Olhando a segunda componente dá t\cdot 1=1\Rightarrow t=1; mas então a primeira componente exigiria t\cdot 2=2=0, contradição. Logo e_2 (e muitos outros vetores) não estão no span.

Passo 6

Outro ponto de vista rápido: a matriz cujas colunas são esses vetores tem posto 1 porque as colunas são todas múltiplas da primeira. Como o posto é menor que 3, não é possível obter todos os vetores de \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Conclusão final: os três vetores não geram \mathbb{R}^{3}; geram apenas uma reta (subespaço de dimensão 1) porque são mutuamente proporcionais.

Resposta

Não. O conjunto não é uma cobertura de \mathbb{R}^{3}.

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