Quais dos seguintes conjuntos são coberturas para
? Justifique suas respostas.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto dado é uma cobertura (isto é, se gera/espalha)
. O conjunto fornecido é
Informações que temos — explicitamente — são apenas esses três vetores em
. A pergunta pede uma justificativa se esse conjunto gera todo
ou não.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa "ser cobertura de
". Um conjunto de vetores
é uma cobertura (ou gera
) quando todo vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
. Em símbolos:
Uma maneira prática de testar isso é verificar a independência linear ou o posto (rank) dos vetores: se o espaço gerado tem dimensão
(posto
) então gera
; se o posto for menor que
então não gera
.
Passo 3
Vou nomear os vetores para ficar mais claro:
Observar se há relações simples entre eles. Calculo multiplicações escalares de
:
Portanto
e
. Isso mostra imediatamente que os três vetores são múltiplos entre si (todos colineares).
Passo 4
Da observação anterior segue que qualquer combinação linear dos três vetores é um múltiplo de
. De fato, para coeficientes
temos
Logo
que é um subespaço de dimensão
(uma reta através da origem), e não um subespaço de dimensão
.
Passo 5
Como o espaço gerado tem dimensão
, ele não pode ser igual a
(que tem dimensão
). Portanto o conjunto não é cobertura de
.
Para ver explicitamente que nem mesmo um vetor simples como
pertence ao span: se existisse
tais que
então pelo passo anterior o lado esquerdo seria um múltiplo de
, isto é
para algum
. Assim teríamos
. Olhando a segunda componente dá
; mas então a primeira componente exigiria
, contradição. Logo
(e muitos outros vetores) não estão no span.
Passo 6
Outro ponto de vista rápido: a matriz cujas colunas são esses vetores tem posto
porque as colunas são todas múltiplas da primeira. Como o posto é menor que
, não é possível obter todos os vetores de
.
Passo 7
Conclusão final: os três vetores não geram
; geram apenas uma reta (subespaço de dimensão
) porque são mutuamente proporcionais.
Resposta
Não. O conjunto não é uma cobertura de
.