Dados u e v , calcule a projeção ortogonal de v sobre u , e decomponha v como soma de dois vetores, um paralelo a u e o outro ortogonal a u nos seguintes casos:
v=(raiz2, raiz2, 0)E e u=(1raiz2, 1raiz2, 0)E.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de vec v sobre vec u e a decomposição de vec v em soma de um vetor paralelo a vec u e outro ortogonal a vec u. Vamos usar o produto interno, a norma e a fórmula de projeção vetorial:
projvec uvec v ;=; vec vcdot vec uvec ucdot vec u,vec u

Passo 2

Calcular o produto interno vec vcdot vec u. Como
vec v=(raiz2,raiz2,0) e
vec u=(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0), temos
vec vcdot vec u = raiz2,1raiz2 + raiz2,1raiz2 +0 =1+1 =2

Passo 3

Calcular vec ucdot vec u (norma ao quadrado de vec u):
vec ucdot vec u = l(1raiz2r)^2 + l(1raiz2r)^2 +0 = 12 + 12 =1

Passo 4

Aplicar a fórmula de projeção:
projvec uvec v = vec vcdot vec uvec ucdot vec u,vec u = 21,vec u =2,vec u =2l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r) =l(tfrac2raiz2,tfrac2raiz2,0r) =(raiz2,raiz2,0)

Passo 5

Determinar o vetor ortogonal a vec u como diferença:
vec vperp = vec v - projvec uvec v = (raiz2,raiz2,0) - (raiz2,raiz2,0) =(0,0,0)
Portanto
vec v = underbrace(raiz2,raiz2,0)vec vparal<=l ;+;underbrace(0,0,0)vec vperp

Resposta

projvec uvec v = (raiz2,raiz2,0),
vec vparal<=l=(raiz2,raiz2,0) e
vec vperp=(0,0,0).

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