Dados u e v , calcule a projeção ortogonal de v sobre u , e decomponha v como soma de dois vetores, um paralelo a u e o outro ortogonal a u nos seguintes casos:
v=(4,10,10)E e u=(1,1,4)E ;

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de vec v sobre vec u e a decomposição
vec v = vec vparal<=l + vec vperp,
sendo vec vparal<=l paralelo a vec u e vec vperp ortogonal a vec u.
O conteúdo usado é o produto interno em R^3 e a fórmula
projvec uvec v = lang<= vec v,vec urang<=lang<= vec u,vec urang<=,vec u

Passo 2

Primeiro calculamos os produtos internos:
lang<= vec v,vec urang<= = 4cdot1 + 10cdot1 + 10cdot4 = 4 + 10 + 40 = 54,
lang<= vec u,vec urang<= = 1^2 + 1^2 + 4^2 = 1 + 1 + 16 = 18
Logo o coeficiente escalar é
lang<= vec v,vec urang<=lang<= vec u,vec urang<= = 5418 = 3,
e a projeção fica
vec vparal<=l = projvec uvec v = 3,(1,1,4) = (3,3,12)

Passo 3

Agora obtemos a componente ortogonal subtraindo a parte paralela de vec v:
vec vperp = vec v - vec vparal<=l = (4,10,10) - (3,3,12) = (1,7,-2)
Assim confirmamos a decomposição vec v = vec vparal<=l + vec vperp.

Resposta

projvec uvec v = (3,3,12)
vec v = (3,3,12) + (1,7,-2)

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