Dados o campo vetorial de classe no aberto e conexo e a elipse , percorrida apenas uma vez no orientada no sentido horário, utilizando o Teorema de Green, calcule .
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um campo vetorial F(x, y) definido no plano, exceto no ponto (2,0). A curva C é uma elipse dada por x^216+y^29=1, percorrida no sentido horário. Queremos calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Green. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teorema e lidar com a singularidade no ponto (2,0).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Em fórmula:
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde F = (P, Q) e D é a região dentro de C.
Passo 3
No nosso caso, F(x, y) = ( -y(x-2)^2+y^2 + 2 y, x-2(x-2)^2+y^2 + 5 x ). Vamos identificar P e Q:
P = -y(x-2)^2+y^2 + 2 y
Q = x-2(x-2)^2+y^2 + 5 x
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = (1)((x-2)^2+y^2) - (x-2)(2(x-2))((x-2)^2+y^2)^2 + 5