Dados o campo vetorial F(x, y)=(-y(x-2)^2+y^2+2 y, x-2(x-2)^2+y^2+5 x) de classe C^2 no aberto e conexo U=R^2-(2,0) e a elipse C: x^216+y^29=1, percorrida apenas uma vez no orientada no sentido horário, utilizando o Teorema de Green, calcule integralC F cdot d r.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um campo vetorial F(x, y) definido no plano, exceto no ponto (2,0). A curva C é uma elipse dada por x^216+y^29=1, percorrida no sentido horário. Queremos calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Green. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teorema e lidar com a singularidade no ponto (2,0).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Em fórmula:
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde F = (P, Q) e D é a região dentro de C.

Passo 3

No nosso caso, F(x, y) = ( -y(x-2)^2+y^2 + 2 y, x-2(x-2)^2+y^2 + 5 x ). Vamos identificar P e Q:
P = -y(x-2)^2+y^2 + 2 y
Q = x-2(x-2)^2+y^2 + 5 x

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = (1)((x-2)^2+y^2) - (x-2)(2(x-2))((x-2)^2+y^2)^2 + 5
Simplificando:
partial Qpartial x = (x-2)^2+y^2 - 2(x-2)^2((x-2)^2+y^2)^2 + 5 = y^2 - (x-2)^2((x-2)^2+y^2)^2 + 5
De forma semelhante, calculamos:
partial Ppartial y = -((x-2)^2+y^2) - (-y)(2 y)((x-2)^2+y^2)^2 + 2 = -(x-2)^2 - y^2 + 2 y^2((x-2)^2+y^2)^2 + 2 = - (x-2)^2 + y^2((x-2)^2+y^2)^2 + 2

Passo 5

Agora, calculamos partial Qpartial x - partial Ppartial y:
( y^2 - (x-2)^2((x-2)^2+y^2)^2 + 5 ) - ( - (x-2)^2 + y^2((x-2)^2+y^2)^2 + 2 ) = 5 - 2 = 3
Note que os termos fracionários se cancelam.

Passo 6

Agora, segundo o Teorema de Green:
ointC F cdot d r = integral duplaD 3 , dA = 3 cdot Área(D) Á
Precisamos calcular a área da elipse C: x^216+y^29=1. Sabemos que a área de uma elipse é pi a b, onde a e b são os raios nos eixos x e y.

Passo 7

Identificando a=4 e b=3, a área da elipse é:
Área(D) = pi cdot 4 cdot 3 = 12pi Á

Passo 8

Finalmente, calculamos a integral:
ointC F cdot d r = 3 cdot 12pi = 36pi

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale 36pi.

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