Utilizando uma mudança de variáveis na integral tripla, calcule o volume do sólido .
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular o volume de um sólido no espaço usando uma integral tripla e fazendo uma mudança de variáveis. A matéria aqui é cálculo de múltiplas integrais, especificamente integrais triplas, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas pra facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que a gente precisa calcular. O sólido é definido por duas condições:
Vamos achar os limites de z. A segunda condição já nos dá:
-raizr^2 <= z <= raizr^23 implies -r <= z <= rraiz3
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os limites para r e theta. Da condição r^2 + z^2 <= 4r sin theta, e sabendo que -r <= z <= rraiz3, podemos determinar que r varia de 0 a 4 sin theta.
Para theta, como a esfera está centrada no eixo y, theta varia de 0 a pi.
Passo 7
Com todos os limites definidos, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
V = integral0^pi integral0^4 sin theta integral-r^rraiz3 r , dz , dr , dtheta
Passo 8
Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral-r^rraiz3 dz = rraiz3 + r = r (1 + 1raiz3)
Então, a integral fica:
V = integral0^pi integral0^4 sin theta r (1 + 1raiz3) r , dr , dtheta = (1 + 1raiz3) integral0^pi integral0^4 sin theta r^2 , dr , dtheta
Passo 9
Integrando em relação a r:
integral0^4 sin theta r^2 dr = r^33 |0^4 sin theta = (4 sin theta)^33 = 64 sin^3 theta3