Utilizando uma mudança de variáveis na integral tripla, calcule o volume do sólido Omega=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= 4 y,-raizx^2+y^2 <= z <= raizx^2+y^23.

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular o volume de um sólido no espaço usando uma integral tripla e fazendo uma mudança de variáveis. A matéria aqui é cálculo de múltiplas integrais, especificamente integrais triplas, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas pra facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que a gente precisa calcular. O sólido é definido por duas condições:
  1. $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4y $
  2. $ -\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq z \leq \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{3}} $
A primeira inequação representa uma esfera com centro em x^2 + y^2 + z^2 <= 4y e raio 2. A segunda inequação define os limites de -raizx^2 + y^2 <= z <= raizx^2 + y^23 em termos de (0,2,0) e z.

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a simetria do problema facilita. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
E o elemento de volume é dV = r , dz , dr , dtheta.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a condição da esfera em coordenadas cilíndricas:
x^2 + y^2 + z^2 <= 4y implies r^2 + z^2 <= 4r sin theta
Isso simplifica para:
z^2 <= 4r sin theta - r^2

Passo 5

Vamos achar os limites de z. A segunda condição já nos dá:
-raizr^2 <= z <= raizr^23 implies -r <= z <= rraiz3

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os limites para r e theta. Da condição r^2 + z^2 <= 4r sin theta, e sabendo que -r <= z <= rraiz3, podemos determinar que r varia de 0 a 4 sin theta.
Para theta, como a esfera está centrada no eixo y, theta varia de 0 a pi.

Passo 7

Com todos os limites definidos, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
V = integral0^pi integral0^4 sin theta integral-r^rraiz3 r , dz , dr , dtheta

Passo 8

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral-r^rraiz3 dz = rraiz3 + r = r (1 + 1raiz3)
Então, a integral fica:
V = integral0^pi integral0^4 sin theta r (1 + 1raiz3) r , dr , dtheta = (1 + 1raiz3) integral0^pi integral0^4 sin theta r^2 , dr , dtheta

Passo 9

Integrando em relação a r:
integral0^4 sin theta r^2 dr = r^33 |0^4 sin theta = (4 sin theta)^33 = 64 sin^3 theta3
Agora, a integral fica:
V = (1 + 1raiz3) cdot 643 integral0^pi sin^3 theta , dtheta

Passo 10

Sabemos que:
integral0^pi sin^3 theta , dtheta = 43
Portanto, substituindo:
V = (1 + 1raiz3) cdot 643 cdot 43 = (1 + 1raiz3) cdot 2569

Resposta

O volume do sólido Omega é:
V = 2569 (1 + 1raiz3) , unidades cúbicas ú

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