Sejam F(x, y, z)=(x+raiz1+y^2+z^2, y+raiz1+x^2+z^2, z^2+raiz1+x^2+y^2) campo vetorial de classe C^2 no aberto e conexo U=R^3 e a superfície S fronteira do sólido Omega=(x, y, z) in R^3 mid 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 2 z orientada por campo normal unitário n que aponta para o interior do sólido Omega. Utilizando o Teorema de Gauss, calcule integral duplaS F cdot d s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem um campo vetorial F(x, y, z) e uma superfície S que é a fronteira de um sólido Omega. O objetivo é calcular a integral de fluxo integral duplaS F cdot d s usando o Teorema de Gauss. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss, calcular a divergência do campo F e integrar essa divergência sobre o sólido Omega.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada S com a integral da divergência desse campo sobre o volume $ \Omega $ limitado por $ S $. Matematicamente, fica assim:
Omega
Então, para resolver nosso problema, vamos calcular a divergência de S .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = ( x + raiz1 + y^2 + z^2, y + raiz1 + x^2 + z^2, z^2 + raiz1 + x^2 + y^2 ).
A divergência de F é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Fxpartial x:
Fx = x + raiz1 + y^2 + z^2 Rightarrow partial Fxpartial x = 1 + 0 = 1
  1. partial Fypartial y:
Fy = y + raiz1 + x^2 + z^2 Rightarrow partial Fypartial y = 1 + 0 = 1
  1. partial Fzpartial z:
Fz = z^2 + raiz1 + x^2 + y^2 Rightarrow partial Fzpartial z = 2z + 0 = 2z
Então, a divergência nabla cdot F é:
nabla cdot F = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos montar a integral tripla sobre o sólido Omega. Primeiro, precisamos entender a região Omega. O enunciado define:
Omega = (x, y, z) in R^3 mid 1 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 2z
Vamos reescrever a desigualdade para facilitar:
x^2 + y^2 + z^2 <= 2z Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 2z <= 0 Rightarrow x^2 + y^2 + (z - 1)^2 <= 1
Isso descreve uma esfera de raio 1 centrada no ponto (0, 0, 1). A outra parte da desigualdade, x^2 + y^2 + z^2 >= 1, define o exterior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. Portanto, Omega é a região entre essas duas esferas.

Passo 5

Vamos transformar as coordenadas para coordenadas esféricas, que são mais adequadas para integrar sobre esferas. Nas coordenadas esféricas:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Vamos substituir a divergência 2 + 2z nas coordenadas esféricas:
2 + 2z = 2 + 2rho cos phi

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração para rho, phi e theta.
Como Omega está entre as duas esferas x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 2z, em coordenadas esféricas:
  • A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 corresponde a rho = 1.
  • A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2z pode ser reescrita como rho^2 = 2rho cos phi Rightarrow rho = 2 cos phi.
Portanto, rho varia de 1 a 2 cos phi.
Para phi, como rho = 2 cos phi deve ser positiva, temos cos phi >= 0 Rightarrow 0 <= phi <= pi2.
E theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 7

Vamos montar a integral tripla:
integral triplaOmega (2 + 2rho cos phi) cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
integral triplaOmega (2rho^2 sin phi + 2rho^3 sin phi cos phi) , drho , dphi , dtheta
Os limites de integração são:
theta: 0 <= theta <= 2pi phi: 0 <= phi <= pi2 rho: 1 <= rho <= 2 cos phi

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a rho:
integral1^2 cos phi (2rho^2 sin phi + 2rho^3 sin phi cos phi) , drho
Isso resulta em:
2 sin phi [ rho^33 ]1^2 cos phi + 2 sin phi cos phi [ rho^44 ]1^2 cos phi
Calculando cada termo:
2 sin phi ( (2 cos phi)^33 - 13 ) + 2 sin phi cos phi ( (2 cos phi)^44 - 14 )
Simplificando:
2 sin phi ( 8 cos^3 phi3 - 13 ) + 2 sin phi cos phi ( 16 cos^4 phi4 - 14 )
= 163 sin phi cos^3 phi - 23 sin phi + 8 sin phi cos^5 phi - 12 sin phi cos phi

Passo 9

Agora, integramos em relação a phi:
integral0^pi2 ( 163 sin phi cos^3 phi - 23 sin phi + 8 sin phi cos^5 phi - 12 sin phi cos phi ) dphi
Cada termo pode ser integrado separadamente:
  1. 163 integral0^pi2 sin phi cos^3 phi , dphi
  2. -23 integral0^pi2 sin phi , dphi
  3. 8 integral0^pi2 sin phi cos^5 phi , dphi
  4. -12 integral0^pi2 sin phi cos phi , dphi
Usando substituições u = cos phi, du = -sin phi dphi:
  1. 163 [ -cos^4 phi4 ]0^pi2 = 163 ( 0 - 14 ) = -43
  2. -23 [ -cos phi ]0^pi2 = -23 (0 - (-1)) = -23
  3. 8 [ -cos^6 phi6 ]0^pi2 = 8 ( 0 - 16 ) = -43
  4. -12 [ -cos^2 phi2 ]0^pi2 = -12 ( 0 - 12 ) = 14
Somando todos os termos:
-43 - 23 - 43 + 14 = -103 + 14 = -4012 + 312 = -3712

Passo 10

Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi ( -3712 ) dtheta = -3712 cdot 2pi = -376 pi

Resposta

A integral de fluxo é -dfrac376 pi.

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