Sejam campo vetorial de classe no aberto e conexo e a superfície fronteira do sólido orientada por campo normal unitário que aponta para o interior do sólido . Utilizando o Teorema de Gauss, calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem um campo vetorial F(x, y, z) e uma superfície S que é a fronteira de um sólido Omega. O objetivo é calcular a integral de fluxo integral duplaS F cdot d s usando o Teorema de Gauss. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss, calcular a divergência do campo F e integrar essa divergência sobre o sólido Omega.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada S com a integral da divergência desse campo sobre o volume $ \Omega $ limitado por $ S $. Matematicamente, fica assim:
Omega
Então, para resolver nosso problema, vamos calcular a divergência de S .
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = ( x + raiz1 + y^2 + z^2, y + raiz1 + x^2 + z^2, z^2 + raiz1 + x^2 + y^2 ).
A divergência de F é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
partial Fxpartial x:
Fx = x + raiz1 + y^2 + z^2 Rightarrow partial Fxpartial x = 1 + 0 = 1
partial Fypartial y:
Fy = y + raiz1 + x^2 + z^2 Rightarrow partial Fypartial y = 1 + 0 = 1
Isso descreve uma esfera de raio 1 centrada no ponto (0, 0, 1). A outra parte da desigualdade, x^2 + y^2 + z^2 >= 1, define o exterior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. Portanto, Omega é a região entre essas duas esferas.
Passo 5
Vamos transformar as coordenadas para coordenadas esféricas, que são mais adequadas para integrar sobre esferas. Nas coordenadas esféricas:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Vamos substituir a divergência 2 + 2z nas coordenadas esféricas:
2 + 2z = 2 + 2rho cos phi
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração para rho, phi e theta.
Como Omega está entre as duas esferas x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 2z, em coordenadas esféricas:
A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 corresponde a rho = 1.
A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2z pode ser reescrita como rho^2 = 2rho cos phi Rightarrow rho = 2 cos phi.
Portanto, rho varia de 1 a 2 cos phi.
Para phi, como rho = 2 cos phi deve ser positiva, temos cos phi >= 0 Rightarrow 0 <= phi <= pi2.
E theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.
Passo 7
Vamos montar a integral tripla:
integral triplaOmega (2 + 2rho cos phi) cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
integral triplaOmega (2rho^2 sin phi + 2rho^3 sin phi cos phi) , drho , dphi , dtheta