Dados os campos vetoriais F abaixo, determine uma funçāo f tal que F=\nabla f e utilize essa função para calcular \oint_{C} F d r sobre a curva C dada
F(x, y, z)=\left(y^{2} \cdot \cos z\right) \mathbf{i}+(2 x y \cdot \cos z) \mathbf{j}-\left(x y^{2} \cdot \operatorname{sen} z\right) \mathbf{k}, \quad C: r(t)=t^{2} \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e a curva parametrizada e pede duas coisas:
  • Campo vetorial: F(x,y,z)=\bigl(y^{2}\cos z\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(2xy\cos z\bigr)\,\mathbf{j}-\bigl(xy^{2}\sin z\bigr)\,\mathbf{k}.
  • Curva C parametrizada por r(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}, com 0\le t\le\pi.
    O que é pedido:
  1. Determinar uma função f tal que F=\nabla f (ou seja, encontrar um potencial escalar de F).
  2. Usar essa função para calcular \displaystyle\oint_{C}F\cdot dr ao longo da curva dada.
Observação importante (tirada dos dados acima): r(0)=(0,0,0) e r(\pi)=(\pi^{2},0,\pi). Como r(0)\neq r(\pi), a curva parametrizada não é fechada. Portanto o símbolo \oint aparentemente foi só notacional; o integral que vamos calcular é o integral de linha ao longo da curva C de t=0 até t=\pi (ou seja, \displaystyle\int_{C}F\cdot dr). Não vou pedir confirmação — prossigo com essa interpretação.

Passo 2

Ideia e verificação preliminar (por que existe um potencial):
  • Se existir f tal que F=\nabla f, então os componentes de F são as derivadas parciais de f: f_x = y^{2}\cos z,\qquad f_y = 2xy\cos z,\qquad f_z = -xy^{2}\sin z.
  • Uma maneira de confirmar que um potencial existe é verificar que \nabla\times F=\mathbf{0} (rotacional nulo) num domínio simplesmente conexo. Aqui o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^{3} (não há singularidades), que é simplesmente conexo — então rotacional nulo implica existência de potencial.
Vou calcular o rotacional componente a componente (mostrando as derivadas parciais usadas):
  • Primeiro calcule as derivadas necessárias: \begin{aligned} P(x,y,z)&=y^{2}\cos z, & P_y &= 2y\cos z, & P_z &= -y^{2}\sin z,\\[4pt] Q(x,y,z)&=2xy\cos z, & Q_x &= 2y\cos z, & Q_z &= -2xy\sin z,\\[4pt] R(x,y,z)&=-xy^{2}\sin z, & R_x &= -y^{2}\sin z, & R_y &= -2xy\sin z. \end{aligned}
  • Componentes do rotacional \nabla\times F = (R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y): R_y-Q_z = (-2xy\sin z)-(-2xy\sin z)=0,
P_z-R_x = (-y^{2}\sin z)-(-y^{2}\sin z)=0,
Q_x-P_y = (2y\cos z)-(2y\cos z)=0.
Portanto \nabla\times F=\mathbf{0}. Como o domínio é \mathbb{R}^{3} (simplesmente conexo), existe uma função f com F=\nabla f. Agora vamos encontrá-la explicitamente.]

Passo 3

Construção do potencial f passo a passo (método de integração das componentes):
  • Começo integrando f_x = y^{2}\cos z em relação a x: f(x,y,z)=\int f_x\,dx=\int y^{2}\cos z\,dx = x y^{2}\cos z + g(y,z),onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
  • Agora imponho que a derivada parcial de f em relação a y seja f_y=2xy\cos z. Calculo f_y a partir da expressão acima: f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{2}\cos z + g(y,z)\bigr) = 2xy\cos z + g_y(y,z).Igualando a Q=2xy\cos z obtemos g_y(y,z)=0. Portanto g não depende de y; escrevemos g(y,z)=h(z).
  • Agora usamos a condição sobre a derivada em z. Calculamos f_z a partir de f(x,y,z)=x y^{2}\cos z + h(z): f_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x y^{2}\cos z + h(z)\bigr) = -x y^{2}\sin z + h'(z).Igualando a R=-x y^{2}\sin z obtemos h'(z)=0. Então h(z) é constante: h(z)=C.
Conclusão: um potencial é
f(x,y,z)=x y^{2}\cos z + C,
onde C é constante arbitrária (potenciais diferem por constante).
Explicação curta do que fizemos (didática): integrar f_x em x dá a expressão de f com uma função de integração. Em seguida usar f_y e f_z para determinar essa função de integração. Isso é o procedimento padrão para achar potenciais de campos conservativos.

Passo 4

Cálculo do integral de linha usando o potencial (Teorema fundamental das integrais de linha):
  • Teorema usado: se F=\nabla f e C é uma curva suave com parametrização r(t), t\in[a,b], então \int_{C} F\cdot dr = f\bigl(r(b)\bigr)-f\bigl(r(a)\bigr).Ou seja, basta avaliar o potencial nos pontos finais da curva.
  • Calculamos os pontos finais da parametrização: r(0) = (0^{2},\sin 0,0)=(0,0,0),
r(\pi) = (\pi^{2},\sin\pi,\pi)=(\pi^{2},0,\pi).
  • Avaliando f nesses pontos (lembrando f(x,y,z)=x y^{2}\cos z + C): f\bigl(r(0)\bigr)=f(0,0,0)=0\cdot 0^{2}\cos 0 + C = C,
f\bigl(r(\pi)\bigr)=f(\pi^{2},0,\pi)=\pi^{2}\cdot 0^{2}\cos\pi + C = C.
  • Portanto \int_{C}F\cdot dr = f\bigl(r(\pi)\bigr)-f\bigl(r(0)\bigr)=C-C=0.
Observação didática final: o integral dá zero porque ao longo da curva o fator y^{2} (onde y=\sin t) é zero nos extremos, fazendo o potencial ter o mesmo valor nos dois pontos. Em geral, sempre que tiver F=\nabla f a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho, apenas dos valores de f nos extremos.

Resposta

f(x,y,z)=x y^{2}\cos z + C
\displaystyle \int_{C}F\cdot dr = 0

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