Dados os campos vetoriais
abaixo, determine uma funçāo
tal que
e utilize essa função para calcular
sobre a curva
dada
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e a curva parametrizada e pede duas coisas:
- Campo vetorial:
. - Curva
parametrizada por , com .
O que é pedido:
- Determinar uma função
tal que (ou seja, encontrar um potencial escalar de ). - Usar essa função para calcular
ao longo da curva dada.
Observação importante (tirada dos dados acima):
e
. Como
, a curva parametrizada não é fechada. Portanto o símbolo
aparentemente foi só notacional; o integral que vamos calcular é o integral de linha ao longo da curva
de
até
(ou seja,
). Não vou pedir confirmação — prossigo com essa interpretação.
Passo 2
Ideia e verificação preliminar (por que existe um potencial):
- Se existir
tal que , então os componentes de são as derivadas parciais de : - Uma maneira de confirmar que um potencial existe é verificar que
(rotacional nulo) num domínio simplesmente conexo. Aqui o domínio natural do campo é todo (não há singularidades), que é simplesmente conexo — então rotacional nulo implica existência de potencial.
Vou calcular o rotacional componente a componente (mostrando as derivadas parciais usadas):
- Primeiro calcule as derivadas necessárias:
- Componentes do rotacional
:
Portanto
. Como o domínio é
(simplesmente conexo), existe uma função
com
. Agora vamos encontrá-la explicitamente.]
Passo 3
Construção do potencial
passo a passo (método de integração das componentes):
- Começo integrando
em relação a : onde é uma “constante” de integração que pode depender de e . - Agora imponho que a derivada parcial de
em relação a seja . Calculo a partir da expressão acima: Igualando a obtemos . Portanto não depende de ; escrevemos . - Agora usamos a condição sobre a derivada em
. Calculamos a partir de : Igualando a obtemos . Então é constante: .
Conclusão: um potencial é
onde
é constante arbitrária (potenciais diferem por constante).
Explicação curta do que fizemos (didática): integrar
em
dá a expressão de
com uma função de integração. Em seguida usar
e
para determinar essa função de integração. Isso é o procedimento padrão para achar potenciais de campos conservativos.
Passo 4
Cálculo do integral de linha usando o potencial (Teorema fundamental das integrais de linha):
- Teorema usado: se
e é uma curva suave com parametrização , , então Ou seja, basta avaliar o potencial nos pontos finais da curva. - Calculamos os pontos finais da parametrização:
- Avaliando
nesses pontos (lembrando ):
- Portanto
Observação didática final: o integral dá zero porque ao longo da curva o fator
(onde
) é zero nos extremos, fazendo o potencial ter o mesmo valor nos dois pontos. Em geral, sempre que tiver
a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho, apenas dos valores de
nos extremos.