onde C é a elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1.
Informações relevantes fornecidas:
A função P(x,y)=y+e^{\sqrt{x}} multiplica dx.
A função Q(x,y)=2x+\cos(y^{2}) multiplica dy.
A curva C é a fronteira da região elíptica D=\{(x,y)\mid \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}\le 1\}.
A integral é fechada (contorno de uma elipse). Não foi explicitada a orientação; adotaremos a orientação positiva (contra-horária), que é a convenção padrão para o uso do Teorema de Green.
Passo 2
Apresentando o Teorema de Green (versão usada aqui) e as condições:
O Teorema de Green diz que, se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança aberta que contém a região limitada por C e C é uma curva simples fechada orientada positivamente, então
Interpretando: a integral de linha do campo vetorial (P,Q) ao longo da fronteira C é igual à integral dupla sobre a região D do “rotacional bidimensional” \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y.
Condições de aplicabilidade aqui:
Precisamos que \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y sejam contínuas em D.
Calculando adiante veremos que \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y são constantes iguais a 2 e 1, respectivamente, portanto contínuas em todo o plano. Assim o Teorema de Green se aplica (mantendo a convenção de orientação contra-horária).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram no integrando do Teorema de Green.
(Alternativamente, lembrar a fórmula direta da área da elipse: \text{Área}=\pi a bÁ com a=3 e b=4, o que também dá \pi\cdot 3\cdot 4=12\pi.)]
Passo 5
Conclusão final: pela aplicação do Teorema de Green e pelo cálculo da área da região interior da elipse, obtemos que a integral de linha pedida vale 12\pi.