1. (Valor: \mathbf{2 , 5} ) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha:
\oint_{C}\left(y+e^{\sqrt{x}}\right) d x+\left(2 x+\cos \left(y^{2}\right)\right) d y
ao longo da curva C é a elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha ao longo da curva C:
\oint_{C}\bigl(y+e^{\sqrt{x}}\bigr)\,dx+\bigl(2x+\cos(y^{2})\bigr)\,dy,
onde C é a elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função P(x,y)=y+e^{\sqrt{x}} multiplica dx.
  • A função Q(x,y)=2x+\cos(y^{2}) multiplica dy.
  • A curva C é a fronteira da região elíptica D=\{(x,y)\mid \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}\le 1\}.
  • A integral é fechada (contorno de uma elipse). Não foi explicitada a orientação; adotaremos a orientação positiva (contra-horária), que é a convenção padrão para o uso do Teorema de Green.

Passo 2

Apresentando o Teorema de Green (versão usada aqui) e as condições:
O Teorema de Green diz que, se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança aberta que contém a região limitada por C e C é uma curva simples fechada orientada positivamente, então
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Interpretando: a integral de linha do campo vetorial (P,Q) ao longo da fronteira C é igual à integral dupla sobre a região D do “rotacional bidimensional” \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y.
Condições de aplicabilidade aqui:
  • Precisamos que \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y sejam contínuas em D.
  • Calculando adiante veremos que \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y são constantes iguais a 2 e 1, respectivamente, portanto contínuas em todo o plano. Assim o Teorema de Green se aplica (mantendo a convenção de orientação contra-horária).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram no integrando do Teorema de Green.
Primeiro,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x+\cos(y^{2})\bigr)=2,
pois \cos(y^{2}) é função de y e sua derivada em relação a x é zero.
Em seguida,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y+e^{\sqrt{x}}\bigr)=1,
pois e^{\sqrt{x}} depende só de x e não de y.
Portanto o integrando do Teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-1=1.

Passo 4

Aplicar o Teorema de Green e reduzir a integral dupla ao cálculo da área de D.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}1\,dA.
A integral dupla de 1 sobre D é simplesmente a área de D.
Agora calcular a área da elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1. Uma maneira padrão é fazer a mudança de variáveis
x=3u,\qquad y=4v,
que transforma a elipse em disco unitário u^{2}+v^{2}\le 1. O jacobiano dessa transformação é
J=\left|\det\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt]\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}\right| =\left|\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}\right|=3\cdot 4=12.
Logo
\iint_{D}1\,dA=\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} 1\cdot J\,du\,dv =12\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} 1\,du\,dv.
A área do disco unitário é \pi, então
\iint_{D}1\,dA=12\cdot \pi=12\pi.
(Alternativamente, lembrar a fórmula direta da área da elipse: \text{Área}=\pi a bÁ com a=3 e b=4, o que também dá \pi\cdot 3\cdot 4=12\pi.)]

Passo 5

Conclusão final: pela aplicação do Teorema de Green e pelo cálculo da área da região interior da elipse, obtemos que a integral de linha pedida vale 12\pi.

Resposta

12\pi

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