Os dados coletados em um aeroporto sugerem que uma distribuição exponencial com média 2,725 horas é um bom modelo para a duração da chuva.
Qual a probabilidade da duração de um período de chuva nesse local ser de pelo menos 2 horas? No máximo 3 horas? Entre 2 e 3 horas?

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar isso. O enunciado diz que a duração da chuva segue uma distribuição exponencial com média 2,725 h. A gente precisa achar três probabilidades:
  1. a chance de chover pelo menos 2 h,
  2. no máximo 3 h,
  3. e entre 2 e 3 h.
    Isso é matéria de variável aleatória contínua, especificamente de distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar do parâmetro λ dessa expo, da função de distribuição acumulada (CDF) e da complementação de probabilidade.

Passo 2

Teoria na prática:
  • Se f(x)=lambda e^-lambda x, x>=0 é expo com parâmetro F(x)=P(X<= x)=1-e^-lambda x , a densidade é
  • A CDF é
  • Daí, .
  • E

Passo 3

Calcular 1lambda=2,725Longrightarrowlambda=12,725approx0,3663 . Como a média da expo é , temos

Passo 4

Probabilidade de durar pelo menos 2 h:
P(X>=2)=e^-lambdacdot2 =e^-0,3663cdot2 =e^-0,7326 approx0,4806

Passo 5

Probabilidade de durar no máximo 3 h:
P(X<=3)=1-e^-lambdacdot3 =1-e^-0,3663cdot3 =1-e^-1,0989 approx1-0,3325 =0,6675

Passo 6

Probabilidade de durar entre 2 e 3 h:
P(2<= X<=3) =F(3)-F(2) =l(1-e^-lambdacdot3r)-l(1-e^-lambdacdot2r) =e^-0,3663cdot2-e^-0,3663cdot3 approx0,4806-0,3325 =0,1481

Resposta

P(X≥2 h) ≈ 0,481;
P(X≤3 h) ≈ 0,668;
P(2 h≤X≤3 h) ≈ 0,148.

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