Uma prova é constituída de 20 testes com quatro alternativas cada. Um aluno não estudou a matéria e vai respondê-los ao acaso.
Qual é a probabilidade de acertar 50% ou mais das questões?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma prova de 20 questões de múltipla escolha com 4 alternativas cada e o aluno vai chutar tudo (ou seja, probabilidade de acerto em cada questão é ). A gente quer a chance de ele acertar pelo menos 50% das questões, isto é, 10 ou mais acertos.
Conteúdo: distribuição binomial. Vamos precisar da fórmula de probabilidade binomial e de noções de combinação.

Passo 2

Definimos a variável aleatória Xsim Binomial(n=20,;p=tfrac14), = número de acertos. Como o aluno chuta, cada questão é um “sucesso” com probabilidade P(X=k)=binom20kl(tfrac14r)^kl(tfrac34r)^20-k , e os erros têm probabilidade .
Então
e a probabilidade de exatamente acertos é

Passo 3

Como queremos “10 ou mais acertos”, calculamos
P(X>=10) =sumk=10^20P(X=k) =sumk=10^20binom20kl(tfrac14r)^kl(tfrac34r)^20-k
Aqui usamos a soma de probabilidades de cada caso de 10 até 20 acertos.

Passo 4

Para quem não viu binômio antes:
  • conta de quantas formas podemos escolher acertos entre 20.
  • Multiplicamos isso pela probabilidade de ter esses acertos e dos erros .
    Somando tudo, chegamos a um número pequeno, porque é bem improvável conseguir 10+ acertos chutando.

Passo 5

Se formos calcular (ou usar uma calculadora estatística) terminho a terminho, dá cerca de
P(X>=10)approx0,0139,
ou seja, umas 1,39%.

Resposta

(aprox. 1,39%).

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