As peças que saem de uma linha de produção são inspecionadas e o seu estado (defeituoso ou não) é registado. Esta operação repete-se até que duas peças defeituosas sejam fabricadas (consecutivamente ou não) ou três peças não defeituosas sejam registadas consecutivamente.
Descreva o espaço de resultados associado a esta experiência aleatória.

Passo 1

Então, o que a questão pede é o seguinte: nós inspecionamos peças de uma linha de produção e marcamos cada peça como D (defeituosa) ou N (não defeituosa). A gente continua inspecionando até que uma das duas coisas aconteça pela primeira vez:
  1. Já tenham aparecido 2 peças defeituosas no total (não precisa ser consecutivo).
  2. Apareçam 3 peças não defeituosas em sequência.
    Esse problema entra na parte de “espaço amostral de um experimento com tempo de parada”. Para resolvê-lo, a gente vai usar noções de sequência de resultados, condição de parada (time‐to‐stop) e notação de espaço amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos codificar:
  • D = peça defeituosa
  • N = peça não defeituosa
As regras de parada são:
  1. Terminar assim que o total de D’s atingir 2.
  2. Ou terminar assim que aparecerem três N’s consecutivos.
Importante: a gente para na primeira vez que qualquer uma dessas condições se torna verdadeira. Por isso, nenhum prefixo da sequência (isto é, nenhuma parte inicial estrita) pode satisfazer já a uma dessas condições.

Passo 3

Vamos ver alguns exemplos pra entender o padrão:
  • “DD” – para na 2ª peça porque foi o 2º D.
  • “DND”, “NDD” – para na 3ª peça (2º D aparece aí).
  • “NNN” – para na 3ª peça (três N’s seguidos).
  • “DNND”, “NDND”, “NNDD” – para na 4ª peça (é o 2º D do total, não houve três N’s consecutivos antes).
  • “NDNNN” – para na 5ª peça porque acabou de formar “NNN”.
  • “NDNND”, “NNDND” – para na 5ª peça porque deu o 2º D apenas aí.
Em cada sequência acima, antes do último símbolo nenhuma das condições já havia sido satisfeita.

Passo 4

Agora, podemos descrever formalmente o espaço de resultados Ω. Seja w = w₁w₂…wₙ uma sequência em {D,N}*. Definimos n_D(w) = número de D’s em w, e dizemos v ≺ w quando v é um prefixo próprio de w. Então:
Omega = l,winD,N^*: l(wn = D,;nD(w)=2,;forall,vprec w,;nD(v)<=1 e v não contém NNNr);cup l(wn-2wn-1wn = NNN,;nD(w)<=1,;forall,vprec w,;nD(v)<=1 e v não contém NNNr)r ãéãé
Em palavras:
  • A parte da esquerda reúne todas as sequências que terminam em D, contabilizam exatamente 2 D’s e nenhum prefixo delas já tinha 2 D’s nem 3 N’s seguidos.
  • A parte da direita reúne todas as sequências que terminam em NNN, têm no máximo 1 D no total e nenhum prefixo já tinha 2 D’s nem 3 N’s seguidos.

Resposta

boxed Omega = l,winD,N^*: l(wn = D,;nD(w)=2,;forall,vprec w,;nD(v)<=1,;vnot!!!!!supsetNNNr);cup; l(wn-2wn-1wn = NNN,;nD(w)<=1,;forall,vprec w,;nD(v)<=1,;vnot!!!!!supsetNNNr)r
onde
  • é o número de D’s em ,
  • significa “ ” é prefixo próprio de “ ”,
  • e diz que não contém três N’s consecutivos.

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