As peças que saem de uma linha de produção são inspecionadas e o seu estado (defeituoso ou não) é registado. Esta operação repete-se até que duas peças defeituosas sejam fabricadas (consecutivamente ou não) ou três peças não defeituosas sejam registadas consecutivamente.
Descreva o espaço de resultados associado a esta experiência aleatória.
Descreva o espaço de resultados associado a esta experiência aleatória.
Passo 1
Então, o que a questão pede é o seguinte: nós inspecionamos peças de uma linha de produção e marcamos cada peça como D (defeituosa) ou N (não defeituosa). A gente continua inspecionando até que uma das duas coisas aconteça pela primeira vez:
- Já tenham aparecido 2 peças defeituosas no total (não precisa ser consecutivo).
- Apareçam 3 peças não defeituosas em sequência.
Esse problema entra na parte de “espaço amostral de um experimento com tempo de parada”. Para resolvê-lo, a gente vai usar noções de sequência de resultados, condição de parada (time‐to‐stop) e notação de espaço amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos codificar:
- D = peça defeituosa
- N = peça não defeituosa
As regras de parada são:
- Terminar assim que o total de D’s atingir 2.
- Ou terminar assim que aparecerem três N’s consecutivos.
Importante: a gente para na primeira vez que qualquer uma dessas condições se torna verdadeira. Por isso, nenhum prefixo da sequência (isto é, nenhuma parte inicial estrita) pode satisfazer já a uma dessas condições.
Passo 3
Vamos ver alguns exemplos pra entender o padrão:
- “DD” – para na 2ª peça porque foi o 2º D.
- “DND”, “NDD” – para na 3ª peça (2º D aparece aí).
- “NNN” – para na 3ª peça (três N’s seguidos).
- “DNND”, “NDND”, “NNDD” – para na 4ª peça (é o 2º D do total, não houve três N’s consecutivos antes).
- “NDNNN” – para na 5ª peça porque acabou de formar “NNN”.
- “NDNND”, “NNDND” – para na 5ª peça porque deu o 2º D apenas aí.
Em cada sequência acima, antes do último símbolo nenhuma das condições já havia sido satisfeita.
Passo 4
Agora, podemos descrever formalmente o espaço de resultados Ω. Seja w = w₁w₂…wₙ uma sequência em {D,N}*. Definimos n_D(w) = número de D’s em w, e dizemos v ≺ w quando v é um prefixo próprio de w. Então:
Em palavras:
- A parte da esquerda reúne todas as sequências que terminam em D, contabilizam exatamente 2 D’s e nenhum prefixo delas já tinha 2 D’s nem 3 N’s seguidos.
- A parte da direita reúne todas as sequências que terminam em NNN, têm no máximo 1 D no total e nenhum prefixo já tinha 2 D’s nem 3 N’s seguidos.
Resposta
onde
-
é o número de D’s em , -
significa “ ” é prefixo próprio de “ ”, - e
diz que não contém três N’s consecutivos.