Uma prova é constituída de 20 testes com quatro alternativas cada. Um aluno não estudou a matéria e vai respondê-los ao acaso.
Qual é a vantagem de fazer a aproximação pela Normal nesse caso?

Passo 1

Resumo da questão:
Você tem uma prova de 20 questões de múltipla-escolha (cada uma com 4 alternativas) e um aluno chuta todas as respostas ao acaso.
Conteúdo envolvido: Distribuição Binomial e Aproximação pela Distribuição Normal.
O que vamos precisar:
  1. Entender que o número de acertos segue uma Binomial com e .
  2. Calcular média e variância de .
  3. Verificar se podemos usar a aproximação Normal (regra prática: e ).
  4. Ver por que isso facilita nossos cálculos.

Passo 2

Modelando por Binomial:
  • P(X=k)=binom20k(0.25)^k(0.75)^20-k = número de acertos.
  • .
    Fórmulas da Binomial:
Mas calcular somatórios ou cada na mão dá trabalho.

Passo 3

Calculando média e variância:
  • Média .
  • Variância .
  • Desvio-padrão .

Passo 4

Condições para aproximar Binomial por Normal:
Regra prática diz que, se
np = 5 >= 5 e n(1-p)=20cdot0.75=15>=5,
então podemos usar
Xapprox N(mu=5,;sigma^2=3.75)

Passo 5

Vantagens dessa aproximação:
  1. Em vez de somar vários termos , você transforma o problema num cálculo com a tabela da Normal.
  2. É muito mais rápido e prático para obter probabilidades (por exemplo, , etc.).
  3. Para grande, a Binomial fica “pesada” de calcular; a Normal sempre tem fórmula contínua e tabelas prontas.

Resposta

A vantagem de usar a aproximação pela Normal é que ela transforma a soma de muitos termos difíceis da Binomial numa única operação com a distribuição Normal padrão (tabela ), deixando o cálculo de probabilidades muito mais simples e rápido, especialmente quando é grande.

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