Uma prova é constituída de 20 testes com quatro alternativas cada. Um aluno não estudou a matéria e vai respondê-los ao acaso.
Qual é a vantagem de fazer a aproximação pela Normal nesse caso?
Qual é a vantagem de fazer a aproximação pela Normal nesse caso?
Passo 1
Resumo da questão:
Você tem uma prova de 20 questões de múltipla-escolha (cada uma com 4 alternativas) e um aluno chuta todas as respostas ao acaso.
Conteúdo envolvido: Distribuição Binomial e Aproximação pela Distribuição Normal.
O que vamos precisar:
Você tem uma prova de 20 questões de múltipla-escolha (cada uma com 4 alternativas) e um aluno chuta todas as respostas ao acaso.
Conteúdo envolvido: Distribuição Binomial e Aproximação pela Distribuição Normal.
O que vamos precisar:
- Entender que o número de acertos
segue uma Binomial com e . - Calcular média
e variância de . - Verificar se podemos usar a aproximação Normal (regra prática:
e ). - Ver por que isso facilita nossos cálculos.
Passo 2
Modelando por Binomial:
-
= número de acertos. -
.
Fórmulas da Binomial:
Mas calcular somatórios ou cada
na mão dá trabalho.
Passo 3
Calculando média e variância:
- Média
. - Variância
. - Desvio-padrão
.
Passo 4
Condições para aproximar Binomial por Normal:
Regra prática diz que, se
Regra prática diz que, se
então podemos usar
Passo 5
Vantagens dessa aproximação:
- Em vez de somar vários termos
, você transforma o problema num cálculo com a tabela da Normal. - É muito mais rápido e prático para obter probabilidades (por exemplo,
, etc.). - Para
grande, a Binomial fica “pesada” de calcular; a Normal sempre tem fórmula contínua e tabelas prontas.
Resposta
A vantagem de usar a aproximação pela Normal é que ela transforma a soma de muitos termos difíceis da Binomial numa única operação com a distribuição Normal padrão (tabela
), deixando o cálculo de probabilidades muito mais simples e rápido, especialmente quando
é grande.