Dados os compensadores abaixo, determine a respectiva a equação diferenças:
U(z)E(z)=Kp i z-az-1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Dado o compensador U(z)E(z) = Kpi,z - az - 1, determine a equação de diferenças correspondente.”
Conteúdo da matéria: sistemas discretos, transformada Z e equações de diferenças.
O que precisamos:
1) Reescrever o compensador em termos de , pra ficar fácil usar o deslocamento temporal.
2) Multiplicar ambos os lados pelo denominador pra isolar e .
3) Aplicar a transformada inversa, usando a propriedade de deslocamento: .

Passo 2

Primeiro, a gente troca U(z)E(z) =Kpi,z - az - 1 =Kpi,1 - a,z^-11 - z^-1 por (é só uma convenção que facilita o “deslocamento”):

Passo 3

Agora multiplica os dois lados por (1 - z^-1),U(z) =Kpi,l(1 - a,z^-1r),E(z) :

Passo 4

Vamos aplicar a transformada inversa em cada termo. Lembra que:
  • (1 - z^-1),U(z) ;long<=ftrightarrow; u[k] - u[k-1], vira l(1 - a,z^-1r),E(z) ;long<=ftrightarrow; e[k] - a,e[k-1] .
  • u[k] - u[k-1] =Kpi,l(e[k] - a,e[k-1]r) vira .
    Mesma coisa pra e .
    Então
Substituindo na equação do Passo 3:

Resposta

A equação de diferenças do compensador é
boxedu[k] = u[k-1] + Kpi,l(e[k] - a,e[k-1]r)

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