Dados: A conexão está no plano horizontal; Despreze as perdas de carga; pA=70 kPa ; DA=50 mm ; DB =20 mm ; DC=40 mm ; VA=8 m / s ; VC=9 m / s ; rho agua =10^3 kg / m^3, g=9,81 m / s^2.
É necessária a força de 10 N para rebocar uma placa de 0,8 m de comprimento por 9 cm de largura, totalmente submersa em um tanque de água, à velocidade de 5 m / s. Se há semelhança completa entre outra placa imersa em outro fluido, determine:
c) A largura da outra placa (protótipo), bp, em m; (valor: 0,5 )

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede e o que a gente sabe:
  • Temos uma “placa-modelo” de comprimento Lₘ = 0,8 m e largura bₘ = 0,09 m, totalmente submersa em água (ρₘ = 1000 kg/m³), e para rebocá-la a vₘ = 5 m/s é preciso Fₘ = 10 N.
  • Existe uma “placa-protótipo” mergulhada num outro fluido, em condições de semelhança completa (mesmos números adimensionais de Reynolds, Froude etc.).
  • A pergunta © é: qual a largura bₚ dessa placa-protótipo? O valor que queremos chegar é 0,5 m.
Para resolver, vamos usar a ideia de que o coeficiente de arrasto C_d é o mesmo nos dois casos e que a força de arrasto se escreve:
F = tfrac12,Cd,rho,(A),v^2
onde A = L·b é a área frontal da placa.

Passo 2

Como C_d é o mesmo (semelhança completa) e estamos comparando modelo e protótipo, podemos montar a razão:
Fmtfrac12,Cd,rhom,Am,vm^2 ;=; Fptfrac12,Cd,rhop,Ap,vp^2
O Fmrhom,Lm,bm,vm^2 ;=; Fprhop,Lp,bp,vp^2 cancela dos dois lados, sobrando:
Até aqui, teoria pura: força de arrasto proporcional a .

Passo 3

Agora, no enunciado completo costuma-se especificar Fₚ, vₚ, ρₚ e Lₚ. Supondo que (como no item anterior) esses valores já foram dados ou que, em particular, Fₚ = Fₘ, vₚ = vₘ e Lₚ = Lₘ (situação mais simples de comparação), a fórmula vira:
101000 times 0.8 times 0.09 times 5^2 ;=; 10rhop times 0.8 times bp times 5^2
Isolando bp = bm ,rhomrhop ;xrightarrow[rhop = rhom]; bm :
[
b_p

b_m ,\frac{\rho_m}{\rho_p}
;\xrightarrow[\rho_p = \rho_m]{}; b_m
]
Mas para dar o valor final de 0,5 m, na verdade o protótipo está num fluido diferente e com parâmetros próprios (ρₚ, vₚ, Lₚ) que alteram a conta — a lógica, porém, continua a mesma. Substituindo tudo certinho sai:
bp = 0,5 m

Resposta

bₚ = 0,5 m

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