Dados os conjuntos A=\{1\}, B=\{0,1\}, C=\{1,2,3\} e D=\{0,1,2,4\}, relacione:
a) A \in B
b) A \in C
c) A \in D
d) B \in C
e) B \in D

Passo 1

O enunciado fornece os conjuntos
A=\{1\},\qquad B=\{0,1\},\qquad C=\{1,2,3\},\qquad D=\{0,1,2,4\}
e pede para relacionar as afirmações:
a) A\in B
b) A\in C
c) A\in D
d) B\in C
e) B\in D.

Passo 2

Entender o que significa o símbolo \in é crucial. Vou explicar de forma bem direta e com exemplos:
  • A notação x\in S significa que o objeto x é um elemento (um membro) do conjunto S. Por exemplo, se S=\{1,2\} então 1\in S é verdade porque o número 1 aparece entre os elementos de S.
  • Já a notação X\subseteq S significa que X é um subconjunto de S: todo elemento de X também pertence a S. Por exemplo, se X=\{1\} e S=\{1,2\} então X\subseteq S é verdade, embora X (que é o conjunto \{1\}) não seja um elemento de S — o elemento de S é o número 1, não o conjunto \{1\}.
Fique atento: um conjunto pode conter números (como 1) ou outros conjuntos (como \{1\}). Para que A\in B seja verdadeiro, o elemento \{1\} precisa aparecer listadamente entre os elementos de B. Se em B aparece apenas o número 1 e não o conjunto \{1\}, então A\in B é falso. (Observação útil para a prova: contudo A\subseteq B é verdadeiro porque o único elemento de A é 1, e 1\in B.)

Passo 3

Vamos listar os elementos de cada conjunto (peguei essas informações do enunciado):
  • Os elementos de A são: \{1\} (ou seja, o próprio conjunto cujo único elemento é 1).
  • Os elementos de B são: 0 e 1.
  • Os elementos de C são: 1,2,3.
  • Os elementos de D são: 0,1,2,4.
Agora apliquei a definição: para checar A\in B verifico se o elemento \{1\} aparece entre os elementos de B. Em B aparecem apenas 0 e 1 — nenhum deles é o conjunto \{1\}. Portanto A\in B é falso. (Observação útil para a prova: contudo A\subseteq B é verdadeiro porque o único elemento de A é 1, e 1\in B.)
Checar A\in C. Os elementos de C são 1,2,3. Novamente, C não contém o conjunto \{1\} como elemento; contém apenas o número 1. Logo A\in C é falso. (E, similarmente, A\subseteq C seria verdadeiro porque 1\in C.)
Checar A\in D. Os elementos de D são 0,1,2,4. Não há o conjunto \{1\} entre esses elementos, somente o número 1. Portanto A\in D é falso. (Novamente A\subseteq D é verdadeiro porque 1\in D.)
Checar B\in C. Aqui o objeto que estaria sendo verificado como elemento é B=\{0,1\}. Para que B\in C fosse verdadeiro, o conjunto \{0,1\} teria de aparecer como um elemento de C. Mas os elementos de C são os números 1,2,3 — nenhum deles é o conjunto \{0,1\}. Logo B\in C é falso. (Nota: B\subseteq C também é falso porque 0\in B mas 0\notin C.)
Checar B\in D. De forma análoga, B=\{0,1\} não aparece como elemento entre os membros de D (que são 0,1,2,4). Portanto B\in D é falso. (Também B\subseteq D é falso, pois embora 1\in D e 0\in D — nesse caso verificar: para B\subseteq D precisamos que todos os elementos de B estejam em D; aqui 0\in D e 1\in D, então na verdade B\subseteq D é verdadeiro. Atenção: isso mostra como confundir \in com \subseteq pode enganar — mas a questão pediu \in.)

Resposta

a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Falso
e) Falso

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