Sejam
e
os conjuntos a seguir:
é número natural par compreendido entre 0 e 15};
é número natural par menor do que 15};
é número natural par diferente de 2
.
Relacione cada par a seguir usando o símbolo
ou
:
a)
e
b)
c)
Relacione cada par a seguir usando o símbolo
a)
b)
c)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, pegando os dados das definições dos conjuntos:
-
é número natural par compreendido entre e . -
é número natural par menor do que . -
é número natural par diferente de .
O enunciado pede que, para cada caso abaixo, se relacione o par usando o símbolo
ou
:
a) e
b) e
(o enunciado escreveu
, mas a instrução pede usar
ou
, então será avaliada a relação de inclusão entre
e
)
c) e
(mesma observação do item b)
a)
b)
c)
Passo 2
Vamos escrever explicitamente os elementos de cada conjunto, usando a interpretação padrão de “número natural” incluindo
e de "compreendido entre
e
" como inclusive:
- Os números naturais pares entre
e (inclusive) são
Logo
- Os números naturais pares menores do que
(ou seja, pares ) também são
portanto
- O conjunto
é o conjunto de todos os números naturais pares, exceto . Escrevendo alguns elementos iniciais:
ou seja, contém
e todos os pares positivos exceto
.
Passo 3
Relembrando o significado dos símbolos (passo didático importante):
- Para conjuntos
e , significa "todo elemento de é também elemento de ". A igualdade implica (pois elementos coincidem). -
significa que existe pelo menos um elemento em que não pertence a .
Nota: não confundir(um elemento pertence a ) com (um conjunto está contido em ).
Passo 4
Comparando
e
usando as listas de elementos do Passo 2:
e
Os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos, logo
. Como igualdade implica inclusão, concluímos que
(Se preferir pensar: todo elemento de
aparece em
, portanto
.)
Passo 5
Analisando
e
:
- Do Passo 2 temos
. - Do Passo 2 também vimos que
(por definição é o conjunto dos pares naturais diferentes de ).
Como existe um elemento () que pertence a mas não pertence a , isso mostra que nem todo elemento de está em . Portanto
Passo 6
Analisando
e
:
- Lembrando que
tem os mesmos elementos que , então . - E como antes
.
Logo existe elemento de(o ) que não pertence a . Portanto
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)