Sejam A, B e C os conjuntos a seguir:
A=\{x \mid x é número natural par compreendido entre 0 e 15};
B=\{x \mid x é número natural par menor do que 15};
C=\{x \mid x é número natural par diferente de 2 \}.
Relacione cada par a seguir usando o símbolo \subset ou \not \subset:
a) A e B
b) A \in C
c) B \in C

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, pegando os dados das definições dos conjuntos:
  • A=\{x \mid x é número natural par compreendido entre 0 e 15\}.
  • B=\{x \mid x é número natural par menor do que 15\}.
  • C=\{x \mid x é número natural par diferente de 2\}.
O enunciado pede que, para cada caso abaixo, se relacione o par usando o símbolo \subset ou \not\subset:
a) A e B
b) A e C (o enunciado escreveu A \in C, mas a instrução pede usar \subset ou \not\subset, então será avaliada a relação de inclusão entre A e C)
c) B e C (mesma observação do item b)

Passo 2

Vamos escrever explicitamente os elementos de cada conjunto, usando a interpretação padrão de “número natural” incluindo 0 e de "compreendido entre 0 e 15" como inclusive:
  • Os números naturais pares entre 0 e 15 (inclusive) são
0,2,4,6,8,10,12,14.
Logo
A=\{0,2,4,6,8,10,12,14\}.
  • Os números naturais pares menores do que 15 (ou seja, pares \lt 15) também são
0,2,4,6,8,10,12,14,
portanto
B=\{0,2,4,6,8,10,12,14\}.
  • O conjunto C é o conjunto de todos os números naturais pares, exceto 2. Escrevendo alguns elementos iniciais:
C=\{0,4,6,8,10,12,14,16,18,\dots\},
ou seja, contém 0 e todos os pares positivos exceto 2.

Passo 3

Relembrando o significado dos símbolos (passo didático importante):
  • Para conjuntos X e Y, X\subset Y significa "todo elemento de X é também elemento de Y". A igualdade X=Y implica X\subset Y (pois elementos coincidem).
  • X\not\subset Y significa que existe pelo menos um elemento em X que não pertence a Y.
    Nota: não confundir x\in Y (um elemento x pertence a Y) com X\subset Y (um conjunto X está contido em Y).

Passo 4

Comparando A e B usando as listas de elementos do Passo 2:
A=\{0,2,4,6,8,10,12,14\}
e
B=\{0,2,4,6,8,10,12,14\}.
Os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos, logo A=B. Como igualdade implica inclusão, concluímos que
A\subset B.
(Se preferir pensar: todo elemento de A aparece em B, portanto A\subset B.)

Passo 5

Analisando A e C:
  • Do Passo 2 temos 2\in A.
  • Do Passo 2 também vimos que 2\notin C (por definição C é o conjunto dos pares naturais diferentes de 2).
    Como existe um elemento ( 2) que pertence a A mas não pertence a C, isso mostra que nem todo elemento de A está em C. Portanto
A\not\subset C.

Passo 6

Analisando B e C:
  • Lembrando que B tem os mesmos elementos que A, então 2\in B.
  • E como antes 2\notin C.
    Logo existe elemento de B (o 2) que não pertence a C. Portanto
B\not\subset C.

Resposta

a) A\subset B
b) A\not\subset C
c) B\not\subset C

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