Dados os conjuntos:
represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos:
represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: representar o produto cartesiano
“pelos elementos” (ou seja, listar todos os pares ordenados) e “pelo gráfico cartesiano” (ou seja, mostrar onde esses pares ficam no plano).
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Passo 2
Definição e ideia importante (passo-a-passo do que é produto cartesiano).
O produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados
em que o primeiro elemento vem de
e o segundo elemento vem de
. Em notação:
O produto cartesiano
Explicando com calma: cada elemento de
combina com cada elemento de
. A ordem importa:
é diferente de
.
Passo 3
Vamos formar os pares, fazendo a combinação para cada elemento de
.
-
Para
(ou seja, o primeiro componente igual a ), combinamos com cada elemento de :
e . -
Para
, combinamos com cada elemento de :
e . -
Para
, combinamos com cada elemento de :
e .
Note que eu listei os pares individualmente em vez de já escrever o conjunto final, para você ver como cada combinação é feita.
Passo 4
Contagem e observação prática (útil na prova).
O conjunto tem
elementos e
tem
elementos. Para conjuntos finitos, o número de pares em
é
. Conferimos que listamos exatamente 6 pares no passo anterior.
O conjunto
Passo 5
Como plotar esses pares no plano cartesiano — procedimento que cai muito em prova.
- No plano cartesiano, o eixo horizontal é o eixo das abscissas (chamado de eixo
) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (chamado de eixo ). - Para plotar um par
fazemos: a partir da origem, vamos unidades para a direita se (ou para a esquerda se ), e depois subimos unidades se (ou descemos se ). - Exemplo concreto: para
você sai da origem, vai para a direita e desce ; marca um ponto ali.
Os pontos que vamos marcar (já vistos antes) são:
.
Passo 6
Representação gráfica simples (grade com os pontos marcados). Vou mostrar uma grade reduzida onde as colunas importantes são
e as linhas importantes são
e
. Os rótulos numéricos estão em TeX; os pontos marcados com “•” são os elementos de
.
eixo x →
\(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(2\) | . . . . . .
\(1\) | . • . • • . <- pontos em y=1: (1,1), (3,1), (4,1)
\(0\) | . . . . . .
\(-1\) | . . . . . .
\(-2\) | . • . • • . <- pontos em y=-2: (1,-2), (3,-2), (4,-2)
Interpretação rápida do gráfico acima:
- A coluna
tem pontos em e , ou seja e . - A coluna
tem pontos em e , ou seja e . - A coluna
tem pontos em e , ou seja e .
Se você precisar desenhar isso à mão numa folha para a prova: marque os eixos, coloque as marcas em
e em
e faça os 6 pontos conforme a tabela.
Passo 7
Dicas finais rápidas para a prova (rápidas, motivadoras):
- Ao ver
pense imediatamente "cada elemento de com cada elemento de ". - Conte elementos com
pra checar se não esqueceu pares. - Para o gráfico, sempre verifique qual componente é abscissa (primeiro número) e qual é ordenada (segundo número).
Resposta
Gráfico cartesiano: pontos