Dados os conjuntos:
A=\{1,3,4\}
B=\{-2,1\}
C=\{-1,0,2\}
represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos:
A \times B

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: representar o produto cartesiano A\times B “pelos elementos” (ou seja, listar todos os pares ordenados) e “pelo gráfico cartesiano” (ou seja, mostrar onde esses pares ficam no plano).
As informações dadas são:
A=\{1,3,4\}
B=\{-2,1\}

Passo 2

Definição e ideia importante (passo-a-passo do que é produto cartesiano).
O produto cartesiano A\times B é o conjunto de todos os pares ordenados (a,b) em que o primeiro elemento vem de A e o segundo elemento vem de B. Em notação:
A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}.
Explicando com calma: cada elemento de A combina com cada elemento de B. A ordem importa: (1,-2) é diferente de (-2,1).

Passo 3

Vamos formar os pares, fazendo a combinação para cada elemento de A.
  • Para a=1 (ou seja, o primeiro componente igual a 1), combinamos com cada elemento de B:
    (1,-2) e (1,1).
  • Para a=3, combinamos com cada elemento de B:
    (3,-2) e (3,1).
  • Para a=4, combinamos com cada elemento de B:
    (4,-2) e (4,1).
Note que eu listei os pares individualmente em vez de já escrever o conjunto final, para você ver como cada combinação é feita.

Passo 4

Contagem e observação prática (útil na prova).
O conjunto A tem |A|=3 elementos e B tem |B|=2 elementos. Para conjuntos finitos, o número de pares em A\times B é |A|\cdot|B|=3\cdot2=6. Conferimos que listamos exatamente 6 pares no passo anterior.

Passo 5

Como plotar esses pares no plano cartesiano — procedimento que cai muito em prova.
  1. No plano cartesiano, o eixo horizontal é o eixo das abscissas (chamado de eixo x) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (chamado de eixo y).
  2. Para plotar um par (x,y) fazemos: a partir da origem, vamos x unidades para a direita se x>0 (ou para a esquerda se x<0), e depois subimos y unidades se y>0 (ou descemos se y<0).
  3. Exemplo concreto: para (1,-2) você sai da origem, vai 1 para a direita e desce 2; marca um ponto ali.
Os pontos que vamos marcar (já vistos antes) são:
(1,-2),\\ (1,1),\\ (3,-2),\\ (3,1),\\ (4,-2),\\ (4,1).

Passo 6

Representação gráfica simples (grade com os pontos marcados). Vou mostrar uma grade reduzida onde as colunas importantes são x=1,3,4 e as linhas importantes são y=1 e y=-2. Os rótulos numéricos estão em TeX; os pontos marcados com “•” são os elementos de A\times B.
         eixo x →
        \(0\)  \(1\)  \(2\)  \(3\)  \(4\)  \(5\)
\(2\)  |     .     .     .     .     .     .
\(1\)  |     .    •      .    •    •     .    <- pontos em y=1: (1,1), (3,1), (4,1)
\(0\)  |     .     .     .     .     .     .
\(-1\) |     .     .     .     .     .     .
\(-2\) |     .    •      .    •    •     .    <- pontos em y=-2: (1,-2), (3,-2), (4,-2)
Interpretação rápida do gráfico acima:
  • A coluna x=1 tem pontos em y=1 e y=-2, ou seja (1,1) e (1,-2).
  • A coluna x=3 tem pontos em y=1 e y=-2, ou seja (3,1) e (3,-2).
  • A coluna x=4 tem pontos em y=1 e y=-2, ou seja (4,1) e (4,-2).
Se você precisar desenhar isso à mão numa folha para a prova: marque os eixos, coloque as marcas em x=1,3,4 e em y=-2,1 e faça os 6 pontos conforme a tabela.

Passo 7

Dicas finais rápidas para a prova (rápidas, motivadoras):
  • Ao ver A\times B pense imediatamente "cada elemento de A com cada elemento de B".
  • Conte elementos com |A|\cdot|B| pra checar se não esqueceu pares.
  • Para o gráfico, sempre verifique qual componente é abscissa (primeiro número) e qual é ordenada (segundo número).

Resposta

A\times B=\{(1,-2),(1,1),(3,-2),(3,1),(4,-2),(4,1)\}
Gráfico cartesiano: pontos (1,-2),\\ (1,1),\\ (3,-2),\\ (3,1),\\ (4,-2),\\ (4,1)

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