Dados os conjuntos A e B abaixo, decida se A \subset B, B \subset A ou se não existe tal relação. Justifique. (1 pt. cada item)
A=\{x \in \mathbb{Z} \mid x=7 k, k \in \mathbb{Z}\} e B=\{x \in \mathbb{Z} \mid x=35 m, m \in \mathbb{Z}\};

Passo 1

O enunciado define A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x=7k,\\ k\in\mathbb{Z}\} e B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x=35m,\\ m\in\mathbb{Z}\}.
Estamos em teoria de conjuntos e divisibilidade em \mathbb{Z}. Vamos verificar se todo elemento de um está no outro.

Passo 2

Para mostrar que B\subset A, pegamos um x\in B. Então existe m\in\mathbb{Z} tal que
x=35\,m=7\,(5m).
Como 5m\in\mathbb{Z}, segue x\in A. Logo B\subset A.

Passo 3

Para ver que A\not\subset B, basta achar um elemento de A que não esteja em B. Tomemos x=7. Tem-se 7=7\cdot1, logo 7\in A. Se 7 estivesse em B, existiria m\in\mathbb{Z} com 7=35m, isto é, m=\tfrac{7}{35}=\tfrac{1}{5}, que não é inteiro. Logo 7\notin B. Portanto A\not\subset B.

Passo 4

Concluímos que B\subset A e simultaneamente A\not\subset B, isto é, B é subconjunto próprio de A.

Resposta

B\subset A e A\not\subset B.

Exercícios relacionados