Dados os conjuntos A e B abaixo, decida se A \subset B, B \subset A ou se não existe tal relação. Justifique. (1 pt. cada item)
A=\left\{x \in \mathbb{N} \mid x=n^{2}, n \in \mathbb{N}\right\} e B=\left\{x \in \mathbb{N} \mid x=4^{a}, a \in \mathbb{N}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para comparar os conjuntos
\;A=\{x\in\mathbb{N}\mid x=n^2,\;n\in\mathbb{N}\}
\,B=\{x\in\mathbb{N}\mid x=4^a,\;a\in\mathbb{N}\}
e decidir se A\subset B, B\subset A ou nenhuma dessas inclusões. Vamos usar a definição de subconjunto e também dar um contra­exemplo quando necessário.

Passo 2

Mostramos que B\subset A. Seja x\in B. Então existe a\in\mathbb{N} tal que
x=4^a=(2^a)^2.
Como 2^a\in\mathbb{N}, podemos escrever x=n^2 com n=2^a. Logo x\in A. Isso prova B\subset A.

Passo 3

Mostramos que A\not\subset B por contra­exemplo. Tome n=3. Então
9=n^2=3^2\in A,
porém não existe a\in\mathbb{N} tal que 4^a=9. Logo 9\notin B, e assim A\not\subset B.

Resposta

B\subset A e A\not\subset B. Portanto, a inclusão é B\subset A.

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