Encontre as soluções das equações abaixo
y^{\prime}(t)+3 y(t)=t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(t) + 3\,y(t) = t
e pede a solução geral y(t). Para resolver, vamos usar o fato de que a solução geral é a soma de uma solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
y_h'(t) + 3\,y_h(t) = 0.
Essa é de variável separável ou reconhecida como exponencial decrescente, cujos passos são \frac{y_h'}{y_h} = -3 ⇒ integração ⇒ \ln|y_h| = -3t + C_1
y_h(t) = C\,e^{-3t},
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t). Como o termo não-homogêneo é t (polinômio de grau 1), palpita-se
y_p(t) = a\,t + b.
Então
y_p'(t) = a
e ao substituir em y' + 3y obtemos
y_p'(t) + 3\,y_p(t) = a + 3\bigl(a\,t + b\bigr) = 3a\,t + (a + 3b).
Para que isso seja igual a t para todo t, igualamos coeficientes:
3a = 1 \quad\text{e}\quad a + 3b = 0.
Da primeira vem a = \tfrac{1}{3}. Da segunda,
\tfrac{1}{3} + 3b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -\tfrac{1}{9}.
Logo
y_p(t) = \tfrac{1}{3}\,t - \tfrac{1}{9}.

Passo 4

A solução geral da equação original é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C\,e^{-3t} \;+\;\tfrac{1}{3}\,t \;-\;\tfrac{1}{9}.

Resposta

y(t) = C\,e^{-3t} + \frac{t}{3} - \frac{1}{9},
com C constante arbitrária.

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