Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Temos a sequência an = l(1 + tfrac2nr)^1/n. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência envolvendo potência com expoente que depende de n, e vamos usar logaritmo e exponencial para facilitar.

Passo 2

Para reescrever an, usamos a identidade exp(ln(x)) = x. Assim,
an = expl(lnl((1+2/n)^1/nr)r) = expl(tfrac1nlnl(1+tfrac2nr)r)

Passo 3

Definimos o expoente un = tfrac1nlnl(1+tfrac2nr). Como ln(1+2/n)to0 e ntoinfty, temos unsimtfrac2/nn=2/n^2 e portanto limntoinftyun=0.

Passo 4

Já que an=exp(un) e unto0, concluímos que antoexp(0)=1.

Resposta

1

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