Dados os conjuntos:
mostrar que
e
representam RETAS, e são coincidentes.
Passo 1
O enunciado nos dá dois conjuntos paramétricos em
:
O objetivo é mostrar que cada um descreve uma reta (por ter forma
com vetor direção
) e que, embora escritos com parâmetros diferentes, eles geram exatamente a mesma reta (são coincidentes).
Passo 2
Mostramos primeiro que
é uma reta. Para isso notamos que todo ponto de
pode ser escrito como
onde
é um ponto fixo e
é o vetor direção, que claramente não é o vetor nulo. Logo
é a reta que passa por
com direção
.
Passo 3
De modo análogo, em
temos
Aqui
é um ponto fixo e
é o vetor direção, também não nulo. Portanto
é uma reta com direção
.
Passo 4
Para ver que as duas retas coincidem, comparamos os vetores direção. Note que
Isto mostra que as direções são colineares. Agora basta exibir um ponto comum a ambas. Tomando
em
obtemos o ponto
Em
procuramos
tal que
Da segunda coordenada,
implica
. E para esse
, a primeira coordenada vale
. Logo
.
Passo 5
Como
e
têm vetores direção colineares e compartilham ao menos um ponto, elas são a mesma reta. Em termos de conjunto,
.