Dados os conjuntos:
L1=(2 t+1,-3 t+3) ; t in R e L2=(3-4 r, 6 r) ; r in R,
mostrar que L1 e L2 representam RETAS, e são coincidentes.

Passo 1

O enunciado nos dá dois conjuntos paramétricos em R^2:
L1=(2t+1,,-3t+3)colon tinR,
L2=(3-4r,;6r)colon rinR
O objetivo é mostrar que cada um descreve uma reta (por ter forma P+tv com vetor direção vneq0) e que, embora escritos com parâmetros diferentes, eles geram exatamente a mesma reta (são coincidentes).

Passo 2

Mostramos primeiro que L1 é uma reta. Para isso notamos que todo ponto de L1 pode ser escrito como
(2t+1,,-3t+3) = (1,3) + t,(2,-3),
onde (1,3) é um ponto fixo e (2,-3) é o vetor direção, que claramente não é o vetor nulo. Logo L1 é a reta que passa por (1,3) com direção (2,-3).

Passo 3

De modo análogo, em L2 temos
(3-4r,;6r) = (3,0) + r,(-4,6)
Aqui (3,0) é um ponto fixo e (-4,6) é o vetor direção, também não nulo. Portanto L2 é uma reta com direção (-4,6).

Passo 4

Para ver que as duas retas coincidem, comparamos os vetores direção. Note que
(-4,6) = -2,(2,-3)
Isto mostra que as direções são colineares. Agora basta exibir um ponto comum a ambas. Tomando t=0 em L1 obtemos o ponto
(2cdot0+1,,-3cdot0+3) = (1,3)
Em L2 procuramos r tal que
(3-4r,;6r) = (1,3)
Da segunda coordenada, 6r=3 implica r=tfrac12. E para esse r, a primeira coordenada vale 3-4cdottfrac12=1. Logo (1,3)in L2.

Passo 5

Como L1 e L2 têm vetores direção colineares e compartilham ao menos um ponto, elas são a mesma reta. Em termos de conjunto, L1=L2.

Resposta

L1 e L2 representam retas em R^2 e, de fato, coincidem:
L1=L2

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