Encontre as equações das retas paralelas à reta 8 x+15 y=10, e que encontram-se a uma distância igual a 5 unidades do ponto P=(2,3).

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre todas as retas paralelas à reta
8x + 15y = 10
e que estejam à distância 5 do ponto P = (2,3).
Conteúdo: retas paralelas e distância de um ponto a uma reta no plano.

Passo 2

Colocamos a reta dada em forma geral Ax + By + C = 0.
8x + 15y - 10 = 0
As retas paralelas a ela têm a mesma A e B, mudando só o termo constante. Logo, a família de retas paralelas é
8x + 15y + C = 0,
onde C é uma constante a determinar.

Passo 3

Para que uma reta 8x+15y+C=0 esteja a distância 5 de P=(2,3), usamos a fórmula da distância de ponto a reta:
l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2 = 5
Aqui A=8, B=15, (x0,y0)=(2,3). Substituindo:
l|8cdot2 + 15cdot3 + Cr|raiz8^2 + 15^2 = 5

Passo 4

Calculamos os termos:
8cdot2 + 15cdot3 = 16 + 45 = 61, raiz8^2 + 15^2 = raiz64 + 225 = 17
Então a equação fica
l|61 + Cr|17 = 5 Longrightarrow |61 + C| = 85
Isso dá duas soluções:
61 + C = 85 Longrightarrow C = 24,
61 + C = -85 Longrightarrow C = -146

Passo 5

Substituindo cada valor de C na equação geral 8x + 15y + C = 0, obtemos as duas retas buscadas:
8x + 15y + 24 = 0 e 8x + 15y - 146 = 0

Resposta

As retas são
8x + 15y + 24 = 0 e 8x + 15y - 146 = 0

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