Dadas as seguintes retas:
a) L1 é a reta que passa pela origem e é paralela ao vetor (1,2).
b) L2 é a reta que passa pelo ponto (1,1) e é paralela ao vetor (1,1).
c) L3 é a reta que passa pelos pontos (1,0) e (2,1).
d) L4 é a reta que passa pelos pontos (2,3) e (4,5).
e) L5 é a reta que passa pelo pontos (0,3) e é paralela ao vetor (4,2).
f) L6 é a reta que passa pelo pontos (2,4) e é paralela ao vetor (2,1).
g) L7 é a reta que passa pelo pontos (0,2) e é paralela ao vetor (1,0).
h) L8 é a reta que passa pelos pontos (2,2) e (4,2).
i) L9 é a reta que passa pelo ponto (-1,2) e é paralela ao vetor (0,2).
j) L10 é a reta que passa pelos pontos (-1,0) e (-1,5).
1.1) Determine três pontos em cada uma das retas anteriores.
1.2) O ponto (8,8) pertence à reta L1 ou L2 ou L3 ?
1.3) O ponto (-3,2) pertence à reta L5 ou L6 ou L7 ?
1.4) Mostre que as retas L3 e L4 são paralelas, L5 e L6 são coincidentes, L7 e L8 são coincidentes, L9 e L10 são coincidentes, L8 e L9 não são coincidentes, L1 e L2 são concorrentes.
1.5) Encontre as equações paramétricas de cada uma das retas anteriores.
1.6) Encontre as equações cartesianas de cada uma das retas anteriores.
1.7) Encontre, se for possível, as equações afins de cada uma das retas anteriores.

Passo 1

O enunciado nos dá dez retas L1,dots,L10 definidas quer por um ponto e um vetor diretor, quer por dois pontos. Precisamos:
1.1) achar três pontos em cada reta;
1.2) verificar se (8,8) pertence a L1,L2 ou L3;
1.3) verificar se (-3,2) pertence a L5,L6 ou L7;
1.4) mostrar paralelismo, coincidência ou intersecção entre certos pares;
1.5) obter equações paramétricas de todas;
1.6) obter equações cartesianas (implícitas ax+by+c=0);
1.7) obter equações afins ( y=mx+b ou x=constante).

Passo 2

Para cada reta usamos a forma ponto-direção: dado ponto
com .
A forma cartesiana (implícita) usa um vetor normal e fica , achando por substituição de .
A forma afim é (se não for vertical) ou constante (se for vertical).

Passo 3

Vetores diretores e pontos bases:
L1colon P0=(0,0),,v=(1,2).
L2colon P0=(1,1),,v=(1,1).
L3colon P0=(1,0),,v=(2,1)-(1,0)=(1,1).
L4colon P0=(2,3),,v=(4,5)-(2,3)=(2,2).
L5colon P0=(0,3),,v=(4,2).
L6colon P0=(2,4),,v=(2,1).
L7colon P0=(0,2),,v=(1,0).
L8colon P0=(2,2),,v=(4,2)-(2,2)=(2,0).
L9colon P0=(-1,2),,v=(0,2).
L10colon P0=(-1,0),,v=( -1,5)-(-1,0)=(0,5).
Logo as equações paramétricas são, para cada reta i,
x = x0,i + t,v1,i, y = y0,i + t,v2,i

Passo 4

Três pontos em cada reta ( t=0,1,2):
L1: (0,0),;(1,2),;(2,4).
L2: (1,1),;(2,2),;(3,3).
L3: (1,0),;(2,1),;(3,2).
L4: (2,3),;(4,5),;(6,7).
L5: (0,3),;(4,5),;(8,7).
L6: (2,4),;(4,5),;(6,6).
L7: (0,2),;(1,2),;(2,2).
L8: (2,2),;(4,2),;(6,2).
L9: (-1,2),;(-1,4),;(-1,6).
L10: (-1,0),;(-1,5),;(-1,10).

Passo 5

Verificação de (8,8):
Em L1 precisaríamos t=8 em y=2t, daria y=16neq8.
Em L2 x=1+t=8 t=7 e então y=1+7=8, OK.
Em L3 x=1+t=8 t=7 e então y=0+7=7neq8.
Logo (8,8)in L2 somente.

Passo 6

Verificação de (-3,2):
Em L5 x=4t=-3Rightarrow t=-tfrac34, daria y=3+2(-tfrac34)=1,5neq2.
Em L6 x=2+2t=-3Rightarrow t=-2,5, daria y=4-2,5=1,5neq2.
Em L7 x=t=-3Rightarrow y=2, bate.
Logo (-3,2)in L7 somente.

Passo 7

Relações entre pares:
L3 e L4: vetores (1,1) e (2,2)=2(1,1) Rightarrow paralelas; mas (2,3)notin L3 Rightarrow distintas.
L5 e L6: (4,2)=2(2,1) Rightarrow paralelas; e (2,4)in L5 Rightarrow coincidentes.
L7 e L8: (2,0)=2(1,0) Rightarrow paralelas; e (2,2)in L7 Rightarrow coincidentes.
L9 e L10: (0,5)=2,5(0,2) Rightarrow paralelas; e (-1,0)in L9 Rightarrow coincidentes.
L8 e L9: direções (2,0) e (0,2) não colineares Rightarrow não paralelas Rightarrow não coincidentes.
L1 e L2: direções (1,2) e (1,1) não paralelas Rightarrow se cruzam. De fato cruzam em (0,0).

Passo 8

Equações cartesianas ax+by+c=0:
L1: direção (1,2) Rightarrow normal (2,-1), passa em (0,0) Rightarrow 2x-y=0.
L2: normal (1,-1), em (1,1) Rightarrow x-y=0.
L3: normal (1,-1), em (1,0) Rightarrow x-y-1=0.
L4: normal (1,-1), em (2,3) Rightarrow x-y+1=0.
L5/ L6: normal (1,-2), em (0,3) Rightarrow x-2y+6=0.
L7/ L8: normal (0,-1), em (0,2) Rightarrow -y+2=0 ou y=2.
L9/ L10: normal (1,0), em (-1,2) Rightarrow x+1=0.

Passo 9

Equações afins:
L1colon y=2x.
L2colon y=x.
L3colon y=x-1.
L4colon y=x+1.
L5,L6colon y=tfrac12x+3.
L7,L8colon y=2.
L9,L10colon x=-1.

Resposta

1.1)
L 1: (0,0),,(1,2),,(2,4)
L 2: (1,1),,(2,2),,(3,3)
L 3: (1,0),,(2,1),,(3,2)
L 4: (2,3),,(4,5),,(6,7)
L 5: (0,3),,(4,5),,(8,7)
L 6: (2,4),,(4,5),,(6,6)
L 7: (0,2),,(1,2),,(2,2)
L 8: (2,2),,(4,2),,(6,2)
L 9: (-1,2),;(-1,4),;(-1,6)
L 10: (-1,0),;(-1,5),;(-1,10) 1.2) (8,8) pertence somente a L2.
1.3) (-3,2) pertence somente a L7.
1.4) L3paral<=l L4 (distintas); L5equiv L6; L7equiv L8; L9equiv L10; L8 e L9 não coincidem; L1 e L2 são concorrentes em (0,0).
1.5) Equações paramétricas: para cada reta Li
x = x0,i + t,v1,i, y = y0,i + t,v2,i
(Ver passo 3 para cada P0 e v).
1.6) Equações cartesianas:
L1:2x-y=0, L2:x-y=0, L3:x-y-1=0, L4:x-y+1=0,
L5/L6:x-2y+6=0, L7/L8:y-2=0, L9/L10:x+1=0.
1.7) Equações afins:
L1:y=2x, L2:y=x, L3:y=x-1, L4:y=x+1,
L5/L6:y=tfrac12x+3, L7/L8:y=2, L9/L10:x=-1.

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