Dadas as seguintes retas:
a)
é a reta que passa pela origem e é paralela ao vetor
.
b)
é a reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
c)
é a reta que passa pelos pontos
e
.
d)
é a reta que passa pelos pontos
e
.
e)
é a reta que passa pelo pontos
e é paralela ao vetor
.
f)
é a reta que passa pelo pontos
e é paralela ao vetor
.
g)
é a reta que passa pelo pontos
e é paralela ao vetor
.
h)
é a reta que passa pelos pontos
e
.
i)
é a reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
j)
é a reta que passa pelos pontos
e
.
1.1) Determine três pontos em cada uma das retas anteriores.
1.2) O ponto
pertence à reta
ou
ou
?
1.3) O ponto
pertence à reta
ou
ou
?
1.4) Mostre que as retas
e
são paralelas,
e
são coincidentes,
e
são coincidentes,
e
são coincidentes,
e
não são coincidentes,
e
são concorrentes.
1.5) Encontre as equações paramétricas de cada uma das retas anteriores.
1.6) Encontre as equações cartesianas de cada uma das retas anteriores.
1.7) Encontre, se for possível, as equações afins de cada uma das retas anteriores.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
1.1) Determine três pontos em cada uma das retas anteriores.
1.2) O ponto
1.3) O ponto
1.4) Mostre que as retas
1.5) Encontre as equações paramétricas de cada uma das retas anteriores.
1.6) Encontre as equações cartesianas de cada uma das retas anteriores.
1.7) Encontre, se for possível, as equações afins de cada uma das retas anteriores.
Passo 1
O enunciado nos dá dez retas
definidas quer por um ponto e um vetor diretor, quer por dois pontos. Precisamos:
) achar três pontos em cada reta;
) verificar se
pertence a
ou
;
) verificar se
pertence a
ou
;
) mostrar paralelismo, coincidência ou intersecção entre certos pares;
) obter equações paramétricas de todas;
) obter equações cartesianas (implícitas
);
) obter equações afins (
ou
constante).
Passo 2
Para cada reta usamos a forma ponto-direção: dado ponto
com .
A forma cartesiana (implícita) usa um vetor normal e fica
, achando
por substituição de
.
A forma afim é (se não for vertical) ou
constante (se for vertical).
A forma cartesiana (implícita) usa um vetor normal
A forma afim é
Passo 3
Vetores diretores e pontos bases:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Logo as equações paramétricas são, para cada reta ,
Logo as equações paramétricas são, para cada reta
Passo 4
Três pontos em cada reta (
):
:
.
:
.
:
.
:
.
:
.
:
.
:
.
:
.
:
.
:
.
Passo 5
Verificação de
:
Em precisaríamos
em
, daria
.
Em dá
e então
, OK.
Em dá
e então
.
Logo somente.
Em
Em
Em
Logo
Passo 6
Verificação de
:
Em , daria
.
Em , daria
.
Em , bate.
Logo somente.
Em
Em
Em
Logo
Passo 7
Relações entre pares:
e
: vetores
e
paralelas; mas
distintas.
e
:
paralelas; e
coincidentes.
e
:
paralelas; e
coincidentes.
e
:
paralelas; e
coincidentes.
e
: direções
e
não colineares
não paralelas
não coincidentes.
e
: direções
e
não paralelas
se cruzam. De fato cruzam em
.
Passo 8
Equações cartesianas
:
: direção
normal
, passa em
.
: normal
, em
.
: normal
, em
.
: normal
, em
.
/
: normal
, em
.
/
: normal
, em
ou
.
/
: normal
, em
.
Passo 9
Equações afins:
.
.
.
.
.
.
.
Resposta
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
(Ver passo
para cada
e
).
) Equações cartesianas:
,
,
,
,
,
,
.
) Equações afins:
,
,
,
,
,
,
.