Dados os conjuntos A e B, os subconjuntos W e Z de B, e a aplicação f: A B. A imagem inversa de W pela função f é o conjunto f^-1(W), formado por todos os pontos x in A tais que f(x) in W. Assim
f^-1(W)=x in A ; f(x) in W
Mostre que f^-1(emptyset)=emptyset.

Passo 1

O enunciado define uma função f: A to B e, para qualquer subconjunto W subseteq B, a pré-imagem
f^-1(W) = ,x in A mid f(x)in W
Queremos mostrar que, quando W=emptyset, temos
f^-1(emptyset)=emptyset

Passo 2

Para comparar dois conjuntos por igualdade, normalmente mostramos as duas inclusões. Primeiro observamos que emptyset é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja,
emptyset subseteq f^-1(emptyset)
Isso é sempre verdadeiro porque o conjunto vazio não tem elementos.

Passo 3

Agora mostramos
f^-1(emptyset)subseteq emptyset
Suponha, por absurdo, que exista xin f^-1(emptyset). Então, pela definição de pré-imagem, f(x)in emptyset. Mas isso é impossível, pois emptyset não contém nenhum elemento. Logo não existe tal x, e portanto
f^-1(emptyset)=emptyset

Resposta

f^-1(emptyset)=emptyset

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