Dados os conjuntos
e
, os subconjuntos
e
de
, e a aplicação
. A imagem inversa de
pela função
é o conjunto
, formado por todos os pontos
tais que
. Assim
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define uma função
e, para qualquer subconjunto
, a pré-imagem
Queremos mostrar que, quando
, temos
Passo 2
Para comparar dois conjuntos por igualdade, normalmente mostramos as duas inclusões. Primeiro observamos que
é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja,
Isso é sempre verdadeiro porque o conjunto vazio não tem elementos.
Passo 3
Agora mostramos
Suponha, por absurdo, que exista
. Então, pela definição de pré-imagem,
. Mas isso é impossível, pois
não contém nenhum elemento. Logo não existe tal
, e portanto