Exercício 1: As duas integrais abaixo estão escritas em coordenadas cartesianas. Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral duplinha escrita em coordenadas cartesianas, que são aquelas com
e
. O objetivo é reescrevê-la usando coordenadas polares, que usam
(a distância do ponto até a origem) e
(o ângulo em relação ao eixo
). Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas e os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As fórmulas básicas são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas se transforma em
em polares. Isso é importante para ajustar a integral.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração da integral original:
Aqui,
vai de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a
. Vamos desenhar isso no plano para entender melhor a região de integração.
Passo 4
Desenhando o gráfico, vemos que a curva
é uma parábola que abre para cima, e
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°. A região de integração está entre essas duas curvas, de
a
.
Passo 5
Para converter essa região para coordenadas polares, precisamos encontrar como as curvas
e
se comportam em termos de
e
.
Para
:
Para
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Os limites para
podem ser encontrados observando a interseção das curvas. Quando
,
, então na coordenada polar:
Portanto,
varia de 0 a
.
Passo 7
Para
, para cada
entre 0 e
,
começa na curva
e vai até a reta
. Assim:
Simplificando,
varia de
até
.
Passo 8
Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que
, temos:
Resposta
A integral reescrita em coordenadas polares é: