Exercício 1: As duas integrais abaixo estão escritas em coordenadas cartesianas. Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
integral0^1 integralx^2^x p(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral duplinha escrita em coordenadas cartesianas, que são aquelas com x e y. O objetivo é reescrevê-la usando coordenadas polares, que usam r (a distância do ponto até a origem) e theta (o ângulo em relação ao eixo x). Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas e os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As fórmulas básicas são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Além disso, o elemento de área dx , dy em coordenadas cartesianas se transforma em r , dr , dtheta em polares. Isso é importante para ajustar a integral.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração da integral original:
integral0^1 integralx^2^x p(x, y) , dy , dx
Aqui, x vai de 0 a 1, e para cada x, y varia de x^2 a x. Vamos desenhar isso no plano para entender melhor a região de integração.

Passo 4

Desenhando o gráfico, vemos que a curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima, e y = x é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°. A região de integração está entre essas duas curvas, de x = 0 a x = 1.

Passo 5

Para converter essa região para coordenadas polares, precisamos encontrar como as curvas y = x^2 e y = x se comportam em termos de r e theta.
Para y = x:
r sin(theta) = r cos(theta) implies theta = pi4
Para y = x^2:
Substituindo x = r cos(theta) e y = r sin(theta):
r sin(theta) = (r cos(theta))^2 implies r sin(theta) = r^2 cos^2(theta)
implies r = sin(theta)cos^2(theta) = sin(theta) sec^2(theta)

Passo 6

Os limites para theta podem ser encontrados observando a interseção das curvas. Quando x = 1, y = 1, então na coordenada polar:
r = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
theta = pi4
Portanto, theta varia de 0 a pi4.

Passo 7

Para r, para cada theta entre 0 e pi4, r começa na curva y = x^2 e vai até a reta y = x. Assim:
r varia de sin(theta)cos^2(theta) até sin(theta)cos(theta) é
Simplificando, r varia de tan(theta) sec(theta) até tan(theta).

Passo 8

Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que dx , dy = r , dr , dtheta, temos:
integral0^pi4 integralsin(theta)cos^2(theta)^sin(theta)cos(theta) p(r cos(theta), r sin(theta)) , r , dr , dtheta

Resposta

A integral reescrita em coordenadas polares é:
integral0^pi4 integralsin(theta)cos^2(theta)^sin(theta)cos(theta) p(r cos(theta), r sin(theta)) , r , dr , dtheta

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