Dados z1=2(cos 3 pi4+i sen 3 pi4), z2=3(cos 7 pi6+i sen 7 pi6) e
z3=4(cos 31 pi3+i sen 33 pi3), calcule:
z1 cdot z3

Passo 1

O enunciado dá os números complexos em forma trigonométrica
z1=2l(cos3pi4+isin3pi4r) e z3=4l(cos31pi3+isin33pi3r)
e pede o produto z1cdotz3. Vamos usar redução de período para simplificar os argumentos de z3, depois obter z3 e multiplicar em forma trigonométrica.

Passo 2

Reduzimos os ângulos de z3 módulo 2pi:
31pi3=10pi+pi3equivpi3pmod2pi, 33pi3=11piequivpipmod2pi
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cos31pi3=cospi3=tfrac12, sin33pi3=sinpi=0,
e portanto
z3=4l(tfrac12+icdot0r)=2

Passo 3

Como z3=2 é real, sua conjugada é
z3=2

Passo 4

Multiplicamos z1 por z3. Em forma trigonométrica:
z1cdotz3 =2l(costfrac3pi4+isintfrac3pi4r)times2 =4l(costfrac3pi4+isintfrac3pi4r)

Passo 5

Sabendo que cos3pi4=-tfracraiz22 e sin3pi4=tfracraiz22, temos
4l(-tfracraiz22+itfracraiz22r) =-2raiz2+2raiz2,i

Resposta

z1cdotz3=-2raiz2+2raiz2,i

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