Dados e determine a equação paramétrica da reta que passa por e B. Determine também os pontos onde essa reta corta os planos coordenados e YZ.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no espaço, e , e pede: . A equação paramétrica da reta que passa por e . . Os pontos onde essa reta corta os planos coordenados , e .
Conteúdo: geometria analítica no espaço, equação de reta em forma paramétrica e interseção com planos dados por coordenadas nulas.
Passo 2
Primeiro encontramos o vetor diretor da reta, que é
Usando o ponto A e o vetor diretor, a reta em forma paramétrica é
x = 1 + 3t, y = 2 + 3t, z = 3 + 3t, tinR
Passo 3
Interseção com o plano XY ocorre quando z=0. Assim,
3 + 3t = 0 implies t = -1
Substituindo em x e y, obtemos
x = 1 + 3(-1) = -2, y = 2 + 3(-1) = -1,
logo o ponto de corte com XY é (-2,-1,0).
Passo 4
Interseção com o plano XZ ocorre quando y=0. Assim,
2 + 3t = 0 implies t = -tfrac23
Substituindo em x e z, obtemos
x = 1 + 3l(-tfrac23r) = -1, z = 3 + 3l(-tfrac23r) = 1,
logo o ponto de corte com XZ é (-1,0,1).
Passo 5
Interseção com o plano YZ ocorre quando x=0. Assim,
1 + 3t = 0 implies t = -tfrac13
Substituindo em y e z, obtemos
y = 2 + 3l(-tfrac13r) = 1, z = 3 + 3l(-tfrac13r) = 2,
logo o ponto de corte com YZ é (0,1,2).
Resposta
Equação paramétrica da reta:
x = 1 + 3t, y = 2 + 3t, z = 3 + 3t, tinR
Pontos de interseção:
- com o plano XY: (-2,-1,0)
- com o plano XZ: (-1,0,1)
- com o plano YZ: (0,1,2)