No triângulo de vértices
e
prove que as três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do triângulo, determinando suas coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede para provar que as três alturas de um triângulo de vértices
,
e
são concorrentes num ponto chamado ortocentro, e determinar as coordenadas desse ponto. Aqui usaremos geometria analítica: saber obter a equação de reta perpendicular a um segmento e calcular interseção de retas.
Passo 2
Começamos pela altura trazida pelo vértice
. O lado oposto é
entre
e
. Como
está sobre o eixo
, sua reta tem equação
A reta perpendicular a ela é vertical e passa por
, logo sua equação é
Passo 3
Agora a altura trazida por
. O lado oposto é
com
e
. A inclinação de
é
então a reta perpendicular a
tem coeficiente angular
Assim, a equação da altura de
é
isto é
Passo 4
Para achar o ponto de interseção dessa reta com a altura
, basta substituir
em
Fazendo
vem
Portanto as alturas de
e de
se cortam no ponto
Passo 5
Só resta checar que a altura trazida por
também passa por
. O lado oposto é
com inclinação
logo a reta perpendicular tem coeficiente angular
e equação
Substituindo
obtemos de novo
mostrando que essa reta também contém
. Assim, as três alturas são concorrentes em
.
Resposta
O ortocentro do triângulo é