No triângulo de vértices (a, 0),(b, 0) e (0, c): prove que as três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do triângulo, determinando suas coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede para provar que as três alturas de um triângulo de vértices (a,0), (b,0) e (0,c) são concorrentes num ponto chamado ortocentro, e determinar as coordenadas desse ponto. Aqui usaremos geometria analítica: saber obter a equação de reta perpendicular a um segmento e calcular interseção de retas.

Passo 2

Começamos pela altura trazida pelo vértice C=(0,c). O lado oposto é AB entre A=(a,0) e B=(b,0). Como AB está sobre o eixo x, sua reta tem equação
y=0
A reta perpendicular a ela é vertical e passa por C, logo sua equação é
x=0

Passo 3

Agora a altura trazida por A=(a,0). O lado oposto é BC com B=(b,0) e C=(0,c). A inclinação de BC é
mBC=c-00-b=-cb,
então a reta perpendicular a BC tem coeficiente angular
mA=bc
Assim, a equação da altura de A é
y-0=bcl(x-ar),
isto é
y=bc(x-a)

Passo 4

Para achar o ponto de interseção dessa reta com a altura x=0, basta substituir x=0 em
y=bc(x-a)
Fazendo x=0 vem
y=-abc
Portanto as alturas de C e de A se cortam no ponto
Hl(0,,-tfracabcr)

Passo 5

Só resta checar que a altura trazida por B=(b,0) também passa por H. O lado oposto é AC com inclinação
mAC=0-ca-0=-ca,
logo a reta perpendicular tem coeficiente angular mB=tfracac e equação
y=ac(x-b)
Substituindo x=0 obtemos de novo
y=-abc,
mostrando que essa reta também contém H. Assim, as três alturas são concorrentes em H.

Resposta

O ortocentro do triângulo é
Hl(0,-tfracabcr)

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