Responda se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira e justifique sua resposta:
A matriz A=(cccc4 & 42 & 0 & 0 7 & 3 & 2 & 1 0 & 1 & 1 & 0 10 & 0 & 1 & 1) admite inversa

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A = 4 & 42 & 0 & 0 7 & 3 & 2 & 1 0 & 1 & 1 & 0 10& 0 & 1 & 1
admite inversa. Lembrando que uma matriz quadrada admite inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Vamos calcular det(A) por desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira linha, onde há dois elementos não nulos.
Para a11=4, o cofator é
M11 = det 3 & 2 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Expandindo essa 3times3:
M11 =3det1&01&1 -2det1&00&1 +1det1&10&1 =3cdot1 -2cdot1 +1cdot1=2
Logo a contribuição de a11 é
(+1),4cdot M11 =4cdot2=8
Para a12=42, o sinal do cofator é (-1)^1+2=-1 e o menor é
M12 = det 7 & 2 & 1 0 & 1 & 0 10& 1 & 1
Expandindo pela primeira linha:
M12 =7det1&01&1 -2det0&010&1 +1det0&110&1 =7cdot1 -2cdot0 +1cdot(-10) = -3
Portanto a contribuição de a12 é
(-1),42cdot(-3)=126

Passo 3

Somando as duas contribuições, obtemos
det(A)=8+126=134neq0
Como o determinante de A é diferente de zero, concluímos que A é invertível.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois det(A)=134neq0, logo A admite inversa.

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