Os dados da distribuição de frequência abaixo representam as alturas de 50 estudantes. Calcule a média, mediana, desvio-padrão, coeficiente de variação e a assimetria.
Altura (cm) \mathbf{f}_{\mathbf{i}}
160 \vdash 165 2
165 \vdash 170 5
170 \vdash 175 10
175 \vdash 180 15
180 \vdash 185 9
185 \vdash 190 6
190 \vdash 195 3
Total \Sigma 50

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequências agrupada das alturas (em cm) de 50 estudantes e pede: média, mediana, desvio-padrão, coeficiente de variação e a assimetria. Vou listar claramente as classes e as frequências que o enunciado fornece:
  • Classe 160 \vdash 165: f_{1}=2
  • Classe 165 \vdash 170: f_{2}=5
  • Classe 170 \vdash 175: f_{3}=10
  • Classe 175 \vdash 180: f_{4}=15
  • Classe 180 \vdash 185: f_{5}=9
  • Classe 185 \vdash 190: f_{6}=6
  • Classe 190 \vdash 195: f_{7}=3
Total: \displaystyle\sum f_{i}=50.
O que será feito nos passos seguintes:
  • Calcular a média usando os pontos médios das classes.
  • Calcular a mediana por interpolação na classe mediana.
  • Calcular o desvio-padrão (usar a correção amostral, i.e. divisor n-1).
  • Calcular o coeficiente de variação.
  • Calcular um coeficiente de assimetria (usar o coeficiente de Pearson) e interpretar o sinal.

Passo 2

Como calcular a média para dados agrupados (aulas rápidas antes da conta):
  • Para cada classe, toma-se o ponto médio x_{i} (é o valor central da classe).
  • Multiplica-se x_{i} pela frequência da classe f_{i}.
  • Soma-se todos os f_{i}x_{i} e divide-se pela soma das frequências n.
    A fórmula é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_{i} x_{i}}{n},
onde \bar{x} é a média, f_{i} é a frequência da i-ésima classe, x_{i} é o ponto médio da i-ésima classe e n=\sum_i f_i.
Calculemos os pontos médios x_{i} e f_{i}x_{i}:
  • x_{1}=162,5,\quad f_{1}x_{1}=2\cdot162,5=325,0
  • x_{2}=167,5,\quad f_{2}x_{2}=5\cdot167,5=837,5
  • x_{3}=172,5,\quad f_{3}x_{3}=10\cdot172,5=1725,0
  • x_{4}=177,5,\quad f_{4}x_{4}=15\cdot177,5=2662,5
  • x_{5}=182,5,\quad f_{5}x_{5}=9\cdot182,5=1642,5
  • x_{6}=187,5,\quad f_{6}x_{6}=6\cdot187,5=1125,0
  • x_{7}=192,5,\quad f_{7}x_{7}=3\cdot192,5=577,5
Somando os f_{i}x_{i}:
\sum_{i} f_{i}x_{i}=325,0+837,5+1725,0+2662,5+1642,5+1125,0+577,5=8895,0.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{8895,0}{50}=177,90\\ \text{cm}.
Pequeno comentário motivador: já temos a média — é o “centro de massa” das alturas; continue que os próximos passos também são diretos com cuidado nas contas.

Passo 3

Como calcular a mediana em dados agrupados (breve teoria):
  • A mediana é o valor que separa a amostra em duas metades.
  • Para dados agrupados usamos interpolação na classe que contém a observação de ordem n/2.
    A fórmula clássica é
\tilde{x}=L+\frac{\frac{n}{2}-F_{b}}{f_{m}}\;h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • n é o total de observações,
  • F_{b} é a frequência acumulada até a classe anterior à mediana,
  • f_{m} é a frequência da classe mediana,
  • h é a amplitude (largura) da classe.
Aplicando ao nosso caso:
  • n=50, então \dfrac{n}{2}=25.
  • Calcular as frequências acumuladas F:
    • após 1ª classe: 2
    • após 2ª classe: 2+5=7
    • após 3ª classe: 7+10=17
    • após 4ª classe: 17+15=32
    • (não é preciso continuar)
  • A posição 25 está na 4ª classe 175 \vdash 180 porque a acumulada sobe de 17 para 32. Logo:
    • L=175 (limite inferior da classe 175 \vdash 180),
    • F_{b}=17 (acumulada antes da classe mediana),
    • f_{m}=15,
    • h=5 (cada classe tem amplitude 5 cm).
Agora aplicar a fórmula:
\tilde{x}=175+\frac{25-17}{15}\cdot 5 =175+\frac{8}{15}\cdot5=175+\frac{40}{15}=175+2,666\ldots=177,67\\ \text{cm}.
Observação: alguns autores usam \dfrac{n+1}{2} no lugar de \dfrac{n}{2} para posição; isso mudaria muito pouco o resultado (daria cerca de 177,83). A escolha \dfrac{n}{2} é a usada rotineiramente para medições agrupadas.

Passo 4

Desvio-padrão: teoria e escolha do método
  • Há duas formas frequentes: desvio-padrão populacional (divide por n) e desvio-padrão amostral (divide por n-1), este último é o estimador não viesado para a variância da população quando os dados são uma amostra.
  • Aqui estamos tratando os 50 estudantes como uma amostra de uma população maior (situação típica em exercícios). Por isso vou usar o desvio-padrão amostral s, com divisor n-1.
Fórmula prática para dados agrupados, usando pontos médios x_{i}:
s=\sqrt{\frac{\sum_{i} f_{i}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}}{\,n-1\,}},
onde \sum_{i} f_{i}x_{i}^{2} é a soma das frequências vezes o quadrado dos pontos médios.
Já temos \bar{x}=177,90 e n=50. Precisamos de \sum f_{i}x_{i}^{2}. Calculemos x_{i}^{2} e f_{i}x_{i}^{2}:
  • x_{1}^{2}=162{,}5^{2}=26406{,}25,\quad f_{1}x_{1}^{2}=2\cdot26406{,}25=52812{,}50
  • x_{2}^{2}=167{,}5^{2}=28056{,}25,\quad f_{2}x_{2}^{2}=5\cdot28056{,}25=140281{,}25
  • x_{3}^{2}=172{,}5^{2}=29756{,}25,\quad f_{3}x_{3}^{2}=10\cdot29756{,}25=297562{,}50
  • x_{4}^{2}=177{,}5^{2}=31506{,}25,\quad f_{4}x_{4}^{2}=15\cdot31506{,}25=472593{,}75
  • x_{5}^{2}=182{,}5^{2}=33306{,}25,\quad f_{5}x_{5}^{2}=9\cdot33306{,}25=299756{,}25
  • x_{6}^{2}=187{,}5^{2}=35156{,}25,\quad f_{6}x_{6}^{2}=6\cdot35156{,}25=210937{,}50
  • x_{7}^{2}=192{,}5^{2}=37056{,}25,\quad f_{7}x_{7}^{2}=3\cdot37056{,}25=111168{,}75
Somando:
\sum_{i} f_{i}x_{i}^{2}=52812{,}50+140281{,}25+297562{,}50+472593{,}75+299756{,}25+210937{,}50+111168{,}75=1\,585\,112{,}50.
Calcular a variância amostral:
s^{2}=\frac{1\,585\,112{,}50 - 50\cdot(177{,}90)^{2}}{50-1}.
Já que (177{,}90)^{2}=31648{,}41, então
50\cdot(177{,}90)^{2}=50\cdot31648{,}41=1\,582\,420{,}50.
Logo o numerador:
1\,585\,112{,}50-1\,582\,420{,}50=2\,692{,}00.
E a variância amostral:
s^{2}=\frac{2\,692{,}00}{49}=54{,}9387755\ldots
Portanto o desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{54{,}9387755\ldots}\approx 7{,}41\\ \text{cm}.
Comentário: se alguém pedisse o desvio-padrão populacional, dividir-se-ia por 50 em vez de 49 (daríamos s\approx7{,}34 cm), mas a escolha amostral é a mais comum em exercícios.

Passo 5

Coeficiente de variação (CV): teoria e cálculo
  • O coeficiente de variação dá a dispersão relativa em percentagem e é definido por
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%.
Substituindo \bar{x}=177{,}90 e s\approx7{,}4137:
\text{CV}=\frac{7{,}4137}{177{,}90}\times100\%\approx 4{,}17\%.
Interpretação curta: as alturas variam cerca de 4{,}17\% em relação à média — ou seja, dispersão relativamente pequena.

Passo 6

Assimetria (assimetria de Pearson) — teoria, cálculo e interpretação
  • Uma forma simples de medir assimetria é usar os coeficientes de Pearson. Dois comuns:
    1. Coeficiente de Pearson (1): \displaystyle \text{Sk}_{1}=\frac{\bar{x}-\text{Moda}}{s}.
    2. Coeficiente de Pearson (2): \displaystyle \text{Sk}_{2}=\frac{3(\bar{x}-\tilde{x})}{s}.
  • Sinal positivo indica assimetria à direita (cauda à direita); sinal negativo indica assimetria à esquerda.
Primeiro estimar a moda para dados agrupados (fórmula por interpolação na classe modal):
  • A classe modal é a de maior frequência: aqui é 175\vdash180 com f_{m}=15.
  • Frequência anterior f_{-1}=10 (classe 170\vdash175), frequência posterior f_{+1}=9 (classe 180\vdash185).
    A fórmula da moda (aproximação para dados agrupados) é
\text{Moda}\approx L + \frac{f_{m}-f_{-1}}{2f_{m}-f_{-1}-f_{+1}}\;h,
onde L=175, h=5. Substituindo:
\text{Moda}\approx 175+\frac{15-10}{2\cdot15-10-9}\cdot5=175+\frac{5}{30-19}\cdot5=175+\frac{5}{11}\cdot5=175+\frac{25}{11}=177{,}27\\ \text{cm (aprox.)}.
Agora os coeficientes:
  • Primeiro coeficiente de Pearson:
\text{Sk}_{1}=\frac{177{,}90-177{,}27}{7{,}41}\approx\frac{0{,}63}{7{,}41}\approx0{,}085\\ (\text{pequena e positiva}).
  • Segundo coeficiente de Pearson:
\text{Sk}_{2}=\frac{3(177{,}90-177{,}67)}{7{,}41}=\frac{3\cdot0{,}23}{7{,}41}\approx0{,}094\\ (\text{também pequena e positiva}).é
Interpretação: ambos indicam assimetria ligeiramente positiva (cauda um pouco estendida para a direita), mas o valor é pequeno (próximo de zero), ou seja, a distribuição é praticamente simétrica com leve assimetria à direita.

Resposta

Média: 177,90\\ \text{cm}
Mediana: 177,67\\ \text{cm}
Desvio-padrão (amostral): 7,41\\ \text{cm}
Coeficiente de variação: 4,17\%
Assimetria (coef. de Pearson, 2): 0,094 (ligeira assimetria positiva)

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