Os dados da distribuição de frequência abaixo representam as alturas de 50 estudantes. Calcule a média, mediana, desvio-padrão, coeficiente de variação e a assimetria.
Altura (cm)
2
5
10
15
9
6
3
Total
| Altura (cm) |
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2 |
|
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5 |
|
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10 |
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15 |
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9 |
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6 |
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3 |
| Total |
|
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de frequências agrupada das alturas (em cm) de
estudantes e pede: média, mediana, desvio-padrão, coeficiente de variação e a assimetria. Vou listar claramente as classes e as frequências que o enunciado fornece:
- Classe
: - Classe
: - Classe
: - Classe
: - Classe
: - Classe
: - Classe
:
Total:
.
O que será feito nos passos seguintes:
- Calcular a média usando os pontos médios das classes.
- Calcular a mediana por interpolação na classe mediana.
- Calcular o desvio-padrão (usar a correção amostral, i.e. divisor
). - Calcular o coeficiente de variação.
- Calcular um coeficiente de assimetria (usar o coeficiente de Pearson) e interpretar o sinal.
Passo 2
Como calcular a média para dados agrupados (aulas rápidas antes da conta):
- Para cada classe, toma-se o ponto médio
(é o valor central da classe). - Multiplica-se
pela frequência da classe . - Soma-se todos os
e divide-se pela soma das frequências .
A fórmula é
onde
é a média,
é a frequência da
-ésima classe,
é o ponto médio da
-ésima classe e
.
Calculemos os pontos médios
e
:
Somando os
:
Agora a média:
Pequeno comentário motivador: já temos a média — é o “centro de massa” das alturas; continue que os próximos passos também são diretos com cuidado nas contas.
Passo 3
Como calcular a mediana em dados agrupados (breve teoria):
- A mediana é o valor que separa a amostra em duas metades.
- Para dados agrupados usamos interpolação na classe que contém a observação de ordem
.
A fórmula clássica é
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é o total de observações, -
é a frequência acumulada até a classe anterior à mediana, -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude (largura) da classe.
Aplicando ao nosso caso:
-
, então . - Calcular as frequências acumuladas
: - após 1ª classe:
- após 2ª classe:
- após 3ª classe:
- após 4ª classe:
- (não é preciso continuar)
- após 1ª classe:
- A posição
está na 4ª classe porque a acumulada sobe de para . Logo: -
(limite inferior da classe ), -
(acumulada antes da classe mediana), -
, -
(cada classe tem amplitude cm).
-
Agora aplicar a fórmula:
Observação: alguns autores usam
no lugar de
para posição; isso mudaria muito pouco o resultado (daria cerca de
). A escolha
é a usada rotineiramente para medições agrupadas.
Passo 4
Desvio-padrão: teoria e escolha do método
- Há duas formas frequentes: desvio-padrão populacional (divide por
) e desvio-padrão amostral (divide por ), este último é o estimador não viesado para a variância da população quando os dados são uma amostra. - Aqui estamos tratando os
estudantes como uma amostra de uma população maior (situação típica em exercícios). Por isso vou usar o desvio-padrão amostral , com divisor .
Fórmula prática para dados agrupados, usando pontos médios
:
onde
é a soma das frequências vezes o quadrado dos pontos médios.
Já temos
e
. Precisamos de
. Calculemos
e
:
Somando:
Calcular a variância amostral:
Já que
, então
Logo o numerador:
E a variância amostral:
Portanto o desvio-padrão amostral:
Comentário: se alguém pedisse o desvio-padrão populacional, dividir-se-ia por
em vez de
(daríamos
cm), mas a escolha amostral é a mais comum em exercícios.
Passo 5
Coeficiente de variação (CV): teoria e cálculo
- O coeficiente de variação dá a dispersão relativa em percentagem e é definido por
Substituindo
e
:
Interpretação curta: as alturas variam cerca de
em relação à média — ou seja, dispersão relativamente pequena.
Passo 6
Assimetria (assimetria de Pearson) — teoria, cálculo e interpretação
- Uma forma simples de medir assimetria é usar os coeficientes de Pearson. Dois comuns:
- Coeficiente de Pearson (1):
- Coeficiente de Pearson (2):
- Coeficiente de Pearson (1):
- Sinal positivo indica assimetria à direita (cauda à direita); sinal negativo indica assimetria à esquerda.
Primeiro estimar a moda para dados agrupados (fórmula por interpolação na classe modal):
- A classe modal é a de maior frequência: aqui é
com . - Frequência anterior
(classe ), frequência posterior (classe ).
A fórmula da moda (aproximação para dados agrupados) é
onde
,
. Substituindo:
Agora os coeficientes:
- Primeiro coeficiente de Pearson:
- Segundo coeficiente de Pearson:
Interpretação: ambos indicam assimetria ligeiramente positiva (cauda um pouco estendida para a direita), mas o valor é pequeno (próximo de zero), ou seja, a distribuição é praticamente simétrica com leve assimetria à direita.
Resposta
Média:
Mediana:
Desvio-padrão (amostral):
Coeficiente de variação:
Assimetria (coef. de Pearson, 2): (ligeira assimetria positiva)
Mediana:
Desvio-padrão (amostral):
Coeficiente de variação:
Assimetria (coef. de Pearson, 2):