Os dados da distribuição de frequência abaixo representam os salários de 35 funcionários de uma empresa.
Salários (R$)
830,00
2
850,00
5
920,00
8
960,00
10
1.020,00
6
1.300,00
3
1.540,00
1
Total
35
Calcule a moda, média, mediana, o desvio-padrão, a variância, o coeficiente de variação e o coeficiente de assimetria. Interprete os resultados.
| Salários (R$) |
|
| 830,00 | 2 |
| 850,00 | 5 |
| 920,00 | 8 |
| 960,00 | 10 |
| 1.020,00 | 6 |
| 1.300,00 | 3 |
| 1.540,00 | 1 |
| Total | 35 |
Passo 1
O enunciado pede que, a partir da distribuição de frequências dos salários de
funcionários, sejam calculados: a moda, a média, a mediana, o desvio-padrão, a variância, o coeficiente de variação e o coeficiente de assimetria. Os dados fornecidos (peguei-os do enunciado) são:
Perguntas claras que vou responder:
- Qual a moda?
- Qual a média aritmética?
- Qual a mediana?
- Qual a variância e o desvio-padrão (assumindo que os
funcionários representam toda a população da empresa)? - Qual o coeficiente de variação (em %)?
- Qual o coeficiente de assimetria (vou usar o coeficiente de Pearson:
)?
Vou também interpretar cada resultado de forma didática.
Passo 2
Moda — definição e cálculo passo a passo.
Definição curta: a moda é o valor da variável que tem maior frequência absoluta
.
Na tabela, as frequências são:
O maior valor de frequência é
, correspondente ao salário
. Portanto a moda é
Passo 3
Média aritmética — definição, fórmula e cálculo com a tabela (passo a passo).
Definição/fórmula: para dados em tabela de frequências, a média aritmética é
onde
é o total de observações,
é a frequência da observação
.
Aqui
. Vou calcular cada produto
:
Somando:
Logo
Arredondando para duas casas decimais,
Explicação final curta: a média é o salário “médio” (soma dos salários dividida pelo número de funcionários).
Passo 4
Mediana — definição, posição e cálculo usando frequências acumuladas.
Definição: a mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Para
ímpar, a mediana é a observação na posição
.
Aqui
(ímpar), logo a posição da mediana é
Vou construir as frequências acumuladas (peguei os
da tabela):
A 18ª observação está entre a 16ª e a 25ª grupo acumulado que corresponde ao salário
. Portanto
Passo 5
Variância e desvio-padrão — método escolhido e fórmulas.
Decisão sobre denominador: como os
funcionários representam todos os funcionários da empresa (os dados são da população estudada), uso a fórmula da variância populacional com denominador
. Se fossem uma amostra da população, usaríamos
.
Fórmula conveniente (computacional):
onde
é a soma dos quadrados ponderados.
Calcular
para cada linha:
Somando:
Agora aplico a fórmula:
Lembrando
, calculei antes
Logo a variância populacional é
Arredondando para duas casas decimais,
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Comentário prático: o desvio-padrão dá a “distância típica” dos salários em relação à média.
Passo 6
Coeficiente de variação — definição e cálculo.
Definição: o coeficiente de variação (CV) mede a variabilidade relativa em relação à média. Fórmula:
Substituindo os valores (usei
populacional e
calculada):
Interpretação rápida: cerca de
— variabilidade moderate baixa a moderada em relação ao salário médio.
Passo 7
Coeficiente de assimetria (escolha do método e cálculo).
Escolha do método: há várias formas de medir assimetria. Vou usar o coeficiente de assimetria de Pearson (segunda versão), que é simples e muito usado em estatística descritiva:
Explico os termos:
é a média,
é a mediana e
é o desvio-padrão (usar o mesmo
que foi calculado).
Substituindo:
Interpretação: sinal positivo indica assimetria à direita (cauda à direita). O valor
indica assimetria leve a moderada para a direita — não é uma assimetria extrema.
Passo 8
Interpretação final dos resultados (resumida e amigável):
- Moda
e mediana : a “moda” e a mediana coincidem, mostrando que o valor mais recorrente e o ponto central da distribuição estão no mesmo salário. - Média
é maior que a mediana: isso indica que alguns salários mais altos (por exemplo e , que observei na tabela) puxam a média para cima. - A assimetria positiva
confirma que a distribuição tem cauda para a direita (alguns salários maiores afastam a média para cima). - O desvio-padrão
dá a escala típica de dispersão: a maioria dos salários está a cerca de R$ da média. - O coeficiente de variação
mostra variabilidade relativa moderada: os salários não são extremamente dispersos em relação à média. - Conclusão prática: a distribuição é razoavelmente concentrada em torno de
– R$, com alguns salários maiores causando uma assimetria à direita. Nada indica uma dispersão muito grande, mas há uma cauda direita moderada.
Força aí — esses resultados dão um bom resumo estatístico dos salários e já te preparam para interpretar tabelas parecidas na prova!
Resposta
Moda:
Média:
Mediana:
Variância (populacional):
Desvio-padrão (populacional):
Coeficiente de variação:
Coeficiente de assimetria (Pearson):