Os dados da distribuição de frequência abaixo representam os salários de 35 funcionários de uma empresa.
Salários (R$) \mathrm{f}_{\mathrm{i}}
830,00 2
850,00 5
920,00 8
960,00 10
1.020,00 6
1.300,00 3
1.540,00 1
Total 35
Calcule a moda, média, mediana, o desvio-padrão, a variância, o coeficiente de variação e o coeficiente de assimetria. Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da distribuição de frequências dos salários de 35 funcionários, sejam calculados: a moda, a média, a mediana, o desvio-padrão, a variância, o coeficiente de variação e o coeficiente de assimetria. Os dados fornecidos (peguei-os do enunciado) são:
\begin{array}{l|r} \text{Salário (R\$)} & f_i \\hline 830 & 2\\\\ 850 & 5\\\\ 920 & 8\\\\ 960 & 10\\\\ 1020 & 6\\\\ 1300 & 3\\\\ 1540 & 1\\hline \text{Total} & 35 \end{array}á
Perguntas claras que vou responder:
  • Qual a moda?
  • Qual a média aritmética?
  • Qual a mediana?
  • Qual a variância e o desvio-padrão (assumindo que os 35 funcionários representam toda a população da empresa)?
  • Qual o coeficiente de variação (em %)?
  • Qual o coeficiente de assimetria (vou usar o coeficiente de Pearson: 3(\bar{x}-\text{mediana})/\sigma)?
    Vou também interpretar cada resultado de forma didática.

Passo 2

Moda — definição e cálculo passo a passo.
Definição curta: a moda é o valor da variável que tem maior frequência absoluta f_i.
Na tabela, as frequências são:
f_{830}=2,\quad f_{850}=5,\quad f_{920}=8,\quad f_{960}=10,\quad f_{1020}=6,\quad f_{1300}=3,\quad f_{1540}=1.
O maior valor de frequência é 10, correspondente ao salário \,960. Portanto a moda é
\text{moda}=960.

Passo 3

Média aritmética — definição, fórmula e cálculo com a tabela (passo a passo).
Definição/fórmula: para dados em tabela de frequências, a média aritmética é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_i x_i,
onde N=\sum_i f_i é o total de observações, f_i é a frequência da observação x_i.
Aqui N=35. Vou calcular cada produto f_i x_i:
\begin{aligned} 830\cdot2 &= 1660,\\\\ 850\cdot5 &= 4250,\\\\ 920\cdot8 &= 7360,\\\\ 960\cdot10 &= 9600,\\\\ 1020\cdot6 &= 6120,\\\\ 1300\cdot3 &= 3900,\\\\ 1540\cdot1 &= 1540. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i = 1660+4250+7360+9600+6120+3900+1540 = 34430.
Logo
\bar{x}=\frac{34430}{35}=\frac{6886}{7}\approx 983{,}7142857\ldots
Arredondando para duas casas decimais,
\bar{x}\approx 983{,}71.
Explicação final curta: a média é o salário “médio” (soma dos salários dividida pelo número de funcionários).

Passo 4

Mediana — definição, posição e cálculo usando frequências acumuladas.
Definição: a mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Para N ímpar, a mediana é a observação na posição \dfrac{N+1}{2}.
Aqui N=35 (ímpar), logo a posição da mediana é
\frac{N+1}{2}=\frac{35+1}{2}=18.
Vou construir as frequências acumuladas (peguei os f_i da tabela):
\begin{aligned} \text{até }830 &: 2,\\\ \text{até }850 &: 2+5=7,\\\ \text{até }920 &: 7+8=15,\\\ \text{até }960 &: 15+10=25,\\\ \text{até }1020 &: 25+6=31,\\\ \text{até }1300 &: 31+3=34,\\\ \text{até }1540 &: 34+1=35. \end{aligned}ééééééé
A 18ª observação está entre a 16ª e a 25ª grupo acumulado que corresponde ao salário \,960. Portanto
\text{mediana}=960.

Passo 5

Variância e desvio-padrão — método escolhido e fórmulas.
Decisão sobre denominador: como os 35 funcionários representam todos os funcionários da empresa (os dados são da população estudada), uso a fórmula da variância populacional com denominador N. Se fossem uma amostra da população, usaríamos N-1.
Fórmula conveniente (computacional):
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 - \bar{x}^2,
onde \sum_i f_i x_i^2 é a soma dos quadrados ponderados.
Calcular f_i x_i^2 para cada linha:
\begin{aligned} 830^2\cdot2 &= 688900\cdot2 = 1377800,\\\\ 850^2\cdot5 &= 722500\cdot5 = 3612500,\\\\ 920^2\cdot8 &= 846400\cdot8 = 6771200,\\\\ 960^2\cdot10 &= 921600\cdot10 = 9216000,\\\\ 1020^2\cdot6 &= 1040400\cdot6 = 6242400,\\\\ 1300^2\cdot3 &= 1690000\cdot3 = 5070000,\\\\ 1540^2\cdot1 &= 2371600\cdot1 = 2371600. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i^2 = 1377800+3612500+6771200+9216000+6242400+5070000+2371600 = 34661500.
Agora aplico a fórmula:
\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 = \frac{34661500}{35} = 990328{,}5714285714\ldots
Lembrando \bar{x}=\dfrac{6886}{7}, calculei antes \bar{x}^2=\dfrac{47416996}{49}\approx 967693{,}5918367347\ldots
Logo a variância populacional é
\sigma^2 = 990328{,}5714285714 - 967693{,}5918367347 \approx 22634{,}9795918367.
Arredondando para duas casas decimais,
\sigma^2 \approx 22634{,}98\quad(\text{R\$}^2).
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{\sigma^2}\approx \sqrt{22634{,}9796}\approx 150{,}45\\ \text{R\$}.
Comentário prático: o desvio-padrão dá a “distância típica” dos salários em relação à média.

Passo 6

Coeficiente de variação — definição e cálculo.
Definição: o coeficiente de variação (CV) mede a variabilidade relativa em relação à média. Fórmula:
\text{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo os valores (usei \sigma populacional e \bar{x} calculada):
\text{CV}=\frac{150{,}45}{983{,}71}\times100\%\approx 15{,}30\%.
Interpretação rápida: cerca de 15{,}3\% — variabilidade moderate baixa a moderada em relação ao salário médio.

Passo 7

Coeficiente de assimetria (escolha do método e cálculo).
Escolha do método: há várias formas de medir assimetria. Vou usar o coeficiente de assimetria de Pearson (segunda versão), que é simples e muito usado em estatística descritiva:
\text{Assimetria}_{P}=3\frac{\bar{x}-\text{mediana}}{\sigma}.
Explico os termos: \bar{x} é a média, \text{mediana} é a mediana e \sigma é o desvio-padrão (usar o mesmo \sigma que foi calculado).
Substituindo:
\bar{x}-\text{mediana}=983{,}7142857\ldots - 960 = 23{,}7142857\ldots
\text{Assimetria}_{P}=3\cdot\frac{23{,}7142857\ldots}{150{,}45}\approx 0{,}473.
Interpretação: sinal positivo indica assimetria à direita (cauda à direita). O valor \approx 0{,}47 indica assimetria leve a moderada para a direita — não é uma assimetria extrema.

Passo 8

Interpretação final dos resultados (resumida e amigável):
  • Moda =960 e mediana =960: a “moda” e a mediana coincidem, mostrando que o valor mais recorrente e o ponto central da distribuição estão no mesmo salário.
  • Média \bar{x}\approx 983{,}71 é maior que a mediana: isso indica que alguns salários mais altos (por exemplo 1300 e 1540, que observei na tabela) puxam a média para cima.
  • A assimetria positiva (\approx 0{,}47) confirma que a distribuição tem cauda para a direita (alguns salários maiores afastam a média para cima).
  • O desvio-padrão \sigma\approx 150{,}45\\ \text{R\$} dá a escala típica de dispersão: a maioria dos salários está a cerca de 150 R$ da média.
  • O coeficiente de variação \text{CV}\approx 15{,}30\% mostra variabilidade relativa moderada: os salários não são extremamente dispersos em relação à média.
  • Conclusão prática: a distribuição é razoavelmente concentrada em torno de \sim960 984 R$, com alguns salários maiores causando uma assimetria à direita. Nada indica uma dispersão muito grande, mas há uma cauda direita moderada.
Força aí — esses resultados dão um bom resumo estatístico dos salários e já te preparam para interpretar tabelas parecidas na prova!

Resposta

Moda: 960
Média: \bar{x}=\dfrac{34430}{35}=\dfrac{6886}{7}\approx 983{,}71
Mediana: 960
Variância (populacional): \sigma^2\approx 22634{,}98\\ \text{(R\$}^2\text{)}
Desvio-padrão (populacional): \sigma\approx 150{,}45\\ \text{R\$}
Coeficiente de variação: \text{CV}\approx 15{,}30\%
Coeficiente de assimetria (Pearson): \text{Assimetria}_{P}\approx 0{,}473

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