Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^prime prime(t)+2 x^prime(t)+5 x(t)=0
Condições iniciais:
c x(0)=0 x^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2ª ordem com método da equação característica
Vamos precisar montar a equação característica, achar raízes complexas e usar forma geral da solução.

Passo 2

Montamos a equação característica associada a
x''+2x'+5x=0
que é
r^2+2r+5=0
Resolvendo-a com fórmula de Bhaskara complexa, temos
r=-1pm2,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -1pm2i, a solução geral é
x(t)=e^-t(C1cos(2t)+C2sin(2t))

Passo 4

Para aplicar a condição x(0)=0, fazemos
x(0)=e^0(C1cos0+C2sin0)=C1=0
Então C1=0.

Passo 5

Agora calculamos x'(t) e usamos x'(0)=3:
x'(t)=ddt[e^-t(C1cos2t+C2sin2t)]
Fazendo a derivada e substituindo C1=0 e t=0, obtemos
x'(0)=2C2=3implies C2=tfrac32

Resposta

A solução com as condições iniciais é
x(t)=32,e^-tsin(2t)

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