Prove que, para todo x \in \mathbb{R}, tem-se:
|x-1|+|x-2|+|x-3| \geq 2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado pede que se prove que, para todo x\in\mathbb{R},
|x-1|+|x-2|+|x-3| \geq 2.
  • As informações numéricas presentes são os números 1, 2 e 3. Não há outras condições sobre x.

Passo 2

Entendendo a função que aparece: defino
f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|.
Quero mostrar que [f(x)\geq 2) para todo x. Primeiro, é importante lembrar a definição e uma propriedade útil do valor absoluto:
  • Para qualquer número real t,
|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Isso significa que cada termo |x-a|\] é uma função linear com coeficiente angular \(\pm1, mas muda a expressão quando x passa por a. Portanto, para analisar f(x) é natural dividir a reta real em intervalos determinados pelos pontos 1,2,3.]

Passo 3

Divido a reta em quatro intervalos onde cada valor absoluto tem sinal constante:
  • x\le 1,
  • 1\le x\le 2,
  • 2\le x\le 3,
  • x\ge 3.
Em cada intervalo vou escrever f(x) sem os símbolos de valor absoluto, usando a regra do Passo 2.
  1. Para x\le 1: temos x-1\le0, x-2\le0, x-3\le0. Logo
f(x) = -(x-1) - (x-2) - (x-3).
Agora desenvolvo:
f(x) = -x+1 -x+2 -x+3 = 6 - 3x.
  1. Para 1\le x\le 2: aqui x-1\ge0, mas x-2\le0, x-3\le0. Então
f(x) = (x-1) - (x-2) - (x-3).
Desenvolvendo:
f(x) = x-1 -x+2 -x+3 = 4 - x.
  1. Para 2\le x\le 3: temos x-1\ge0, x-2\ge0, x-3\le0. Assim
f(x) = (x-1) + (x-2) - (x-3).
Desenvolvendo:
f(x) = x-1 + x-2 -x+3 = x.
  1. Para x\ge 3: todos os argumentos são não negativos, então
f(x) = (x-1)+(x-2)+(x-3).
Desenvolvendo:
f(x) = 3x - 6.

Passo 4

Agora analiso cada expressão, verificando onde f(x) pode ser mínima.
  • Para x\le1: f(x)=6-3x. Essa é uma função linear com coeficiente angular -3, ou seja, é estritamente decrescente quando x aumenta dentro desse intervalo. Portanto o menor valor de f em (-\infty,1] ocorre em x=1. Avaliando:
f(1)=6-3\cdot1=3.
  • Para 1\le x\le2: f(x)=4-x. Essa função é linear com coeficiente -1, também decrescente no intervalo. Logo o menor valor em [1,2] ocorre em x=2. Avaliando:
f(2)=4-2=2.
  • Para 2\le x\le3: f(x)=x. Essa é linear com coeficiente +1, logo é crescente. O menor valor em [2,3] ocorre em x=2. Avaliando:
f(2)=2.
(Repare que tanto no intervalo anterior quanto neste o mínimo local coincide em x=2.)
  • Para x\ge3: f(x)=3x-6. Coeficiente angular +3, função crescente; o menor valor em [3,\infty) ocorre em x=3. Avaliando:
f(3)=3\cdot3-6=3.

Passo 5

Juntando as informações dos intervalos: os valores mínimos obtidos nas bordas e nos intervalos mostram que o menor valor global de f(x) é
\min_{x\in\mathbb{R}} f(x) = f(2) = 2.
Como f(x) nunca é menor que 2, concluímos que, para todo x\in\mathbb{R},
|x-1|+|x-2|+|x-3| \geq 2.

Passo 6

Comentário curto e intuitivo (útil para prova rápida): a soma das distâncias de um ponto x a três pontos fixos 1,2,3 na reta é minimizada quando x é a mediana desses pontos, isto é x=2. Nesse caso a soma mínima é 1+0+1=2. Essa é uma forma curta e elegante de justificar o mesmo resultado se quiser uma resposta rápida na prova.

Resposta

|x-1|+|x-2|+|x-3| \geq 2

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