Prove que, para todo
, tem-se:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas, sem resolver nada ainda.
- O enunciado pede que se prove que, para todo
,
- As informações numéricas presentes são os números
, e . Não há outras condições sobre .
Passo 2
Entendendo a função que aparece: defino
Quero mostrar que [f(x)\geq 2) para todo
. Primeiro, é importante lembrar a definição e uma propriedade útil do valor absoluto:
- Para qualquer número real
,
Isso significa que cada termo
, mas muda a expressão quando
passa por
. Portanto, para analisar
é natural dividir a reta real em intervalos determinados pelos pontos
.]
Passo 3
Divido a reta em quatro intervalos onde cada valor absoluto tem sinal constante:
-
, -
, -
, -
.
Em cada intervalo vou escrever
sem os símbolos de valor absoluto, usando a regra do Passo 2.
- Para
: temos , , . Logo
Agora desenvolvo:
- Para
: aqui , mas , . Então
Desenvolvendo:
- Para
: temos , , . Assim
Desenvolvendo:
- Para
: todos os argumentos são não negativos, então
Desenvolvendo:
Passo 4
Agora analiso cada expressão, verificando onde
pode ser mínima.
- Para
: . Essa é uma função linear com coeficiente angular , ou seja, é estritamente decrescente quando aumenta dentro desse intervalo. Portanto o menor valor de em ocorre em . Avaliando:
- Para
: . Essa função é linear com coeficiente , também decrescente no intervalo. Logo o menor valor em ocorre em . Avaliando:
- Para
: . Essa é linear com coeficiente , logo é crescente. O menor valor em ocorre em . Avaliando:
(Repare que tanto no intervalo anterior quanto neste o mínimo local coincide em
.)
- Para
: . Coeficiente angular , função crescente; o menor valor em ocorre em . Avaliando:
Passo 5
Juntando as informações dos intervalos: os valores mínimos obtidos nas bordas e nos intervalos mostram que o menor valor global de
é
Como
nunca é menor que
, concluímos que, para todo
,
Passo 6
Comentário curto e intuitivo (útil para prova rápida): a soma das distâncias de um ponto
a três pontos fixos
na reta é minimizada quando
é a mediana desses pontos, isto é
. Nesse caso a soma mínima é
. Essa é uma forma curta e elegante de justificar o mesmo resultado se quiser uma resposta rápida na prova.