Dados dois eventos A e B, onde P(A-B)=0,2 e P(A)=0,5. Determine a probabilidade de B na certeza de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois eventos, $ A $ e $ B $. Sabemos que a probabilidade de $ A - B $ (ou seja, que A aconteça e B não aconteça) é 0,2, e a probabilidade de $ A $ acontecer é 0,5. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de $ B $ acontecer sabendo que $ A $ já ocorreu, ou seja, $ P(B|A) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e operações com eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ A - B $. Esse é o evento onde $ A $ acontece, mas $ B $ não acontece. Matemáticamente, isso é representado por $ A \cap \overline{B} $. Sabemos que $ P(A \cap \overline{B}) = 0,2 $.

Passo 3

Queremos encontrar $ P(B|A) $, que é a probabilidade de $ B $ ocorrer dado que $ A $ já aconteceu. A fórmula da probabilidade condicional é:
P(B|A)
Aqui, $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de ambos os eventos $ A $ e $ B $ ocorrerem juntos.

Passo 4

Para encontrar $ P(A \cap B) $, podemos usar a informação que temos sobre $ P(A) $ e $ P(A \cap \overline{B}) $. Sabemos que:
P(A cap B)
Substituindo os valores que temos:
P(A)

Passo 5

Agora, resolvemos para $ P(A \cap B) $:
P(A cap B)

Passo 6

Com $ P(A \cap B) $ em mãos, voltamos à fórmula da probabilidade condicional:
P(A cap B)

Resposta

A probabilidade de $ B $ ocorrer dado que $ A $ já aconteceu é $ P(B|A) = 0,6 $.

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