Dados dois eventos
e
, onde
e
. Determine a probabilidade de
na certeza de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois eventos, $ A $ e $ B $. Sabemos que a probabilidade de $ A - B $ (ou seja, que A aconteça e B não aconteça) é 0,2, e a probabilidade de $ A $ acontecer é 0,5. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de $ B $ acontecer sabendo que $ A $ já ocorreu, ou seja, $ P(B|A) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e operações com eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ A - B $. Esse é o evento onde $ A $ acontece, mas $ B $ não acontece. Matemáticamente, isso é representado por $ A \cap \overline{B} $. Sabemos que $ P(A \cap \overline{B}) = 0,2 $.
Passo 3
Queremos encontrar $ P(B|A) $, que é a probabilidade de $ B $ ocorrer dado que $ A $ já aconteceu. A fórmula da probabilidade condicional é:
Aqui, $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de ambos os eventos $ A $ e $ B $ ocorrerem juntos.
Passo 4
Para encontrar $ P(A \cap B) $, podemos usar a informação que temos sobre $ P(A) $ e $ P(A \cap \overline{B}) $. Sabemos que:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora, resolvemos para $ P(A \cap B) $:
Passo 6
Com $ P(A \cap B) $ em mãos, voltamos à fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de $ B $ ocorrer dado que $ A $ já aconteceu é $ P(B|A) = 0,6 $.