Quatro pontas são tomados sobre a superfície de um triângulo retângulo com cada cateto medindo 2 cm. Mostre que há dois desses pontos tais que a distância entre eles é menor que ou igual a
cm.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um triângulo retângulo de catetos medindo 2 cm, ao colocarmos 4 pontos em sua superfície, sempre haverá dois cuja distância é ≤ √2 cm. O conteúdo principal será o Princípio da Casa dos Pombos, junto com a ideia de dividir o triângulo em regiões de diâmetro controlado.
Passo 2
Colocamos o triângulo em um sistema de coordenadas: seja C=(0,0), A=(2,0) e B=(0,2). Assim o triângulo Δ é o conjunto
Passo 3
Agora particionamos Δ em três sub-regiões de modo que cada uma tenha diâmetro ≤ √2. Definimos:
$$R_3={(x,y)\inΔ:1< y\le2,;0\le x\le2-y}.
$$
Passo 4
Em cada região notamos que os vértices formam um triângulo retângulo de catetos de comprimento 1. Por exemplo, R_2 tem vértices (1,0), (2,0) e (1,1). A maior distância em cada triângulo é entre os pontos (1,0) e (2,1) ou equivalentes, e vale
Logo o diâmetro de R_i é √2 para i=1,2,3.
Passo 5
Pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao colocar 4 pontos em apenas 3 regiões R_1,R_2,R_3, dois pontos cairão na mesma região. Como essa região tem diâmetro ≤ √2, a distância entre esses dois pontos é ≤ √2.
Resposta
Existem dois desses pontos cuja distância é menor ou igual a
cm.