Quatro pontas são tomados sobre a superfície de um triângulo retângulo com cada cateto medindo 2 cm. Mostre que há dois desses pontos tais que a distância entre eles é menor que ou igual a raiz2 cm.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um triângulo retângulo de catetos medindo 2 cm, ao colocarmos 4 pontos em sua superfície, sempre haverá dois cuja distância é ≤ √2 cm. O conteúdo principal será o Princípio da Casa dos Pombos, junto com a ideia de dividir o triângulo em regiões de diâmetro controlado.

Passo 2

Colocamos o triângulo em um sistema de coordenadas: seja C=(0,0), A=(2,0) e B=(0,2). Assim o triângulo Δ é o conjunto
Δ=(x,y):x>=0,;y>=0,;x+y<=2

Passo 3

Agora particionamos Δ em três sub-regiões de modo que cada uma tenha diâmetro ≤ √2. Definimos:
R1=(x,y)inΔ:0<= x<=1,;0<= y<=1,
R2=(x,y)inΔ:1< x<=2,;0<= y<=2-x,
$$R_3={(x,y)\inΔ:1< y\le2,;0\le x\le2-y}.
$$

Passo 4

Em cada região notamos que os vértices formam um triângulo retângulo de catetos de comprimento 1. Por exemplo, R_2 tem vértices (1,0), (2,0) e (1,1). A maior distância em cada triângulo é entre os pontos (1,0) e (2,1) ou equivalentes, e vale
raiz(2-1)^2+(1-0)^2=raiz2
Logo o diâmetro de R_i é √2 para i=1,2,3.

Passo 5

Pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao colocar 4 pontos em apenas 3 regiões R_1,R_2,R_3, dois pontos cairão na mesma região. Como essa região tem diâmetro ≤ √2, a distância entre esses dois pontos é ≤ √2.

Resposta

Existem dois desses pontos cuja distância é menor ou igual a raiz2 cm.

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