Seja
um número real positivo dado. Responda os seguintes itens:
Prove que
para todo
.
Prove que
Passo 1
Beleza, então temos que provar que para qualquer número real positivo $ a $ e para todo $ x > 0 $, a expressão $ a x + \frac{1}{x} $ é maior ou igual a $ 2 \sqrt{a} $. Vamos usar a desigualdade de AM-GM, que diz que para dois números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos os dois termos que vamos aplicar a desigualdade de AM-GM. Vamos considerar $ a x $ e $ \frac{1}{x} $ como nossos dois números positivos, já que $ a > 0 $ e $ x > 0 $.
Passo 3
A média aritmética desses dois termos é:
E a média geométrica é:
Segundo a desigualdade de AM-GM:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2 para eliminar o denominador:
Resposta
Portanto, para todo $ x > 0 $, temos que $ a x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{a} $.