Seja a um número real positivo dado. Responda os seguintes itens:
Prove que a x+1x >= 2 raiza para todo x>0.

Passo 1

Beleza, então temos que provar que para qualquer número real positivo $ a $ e para todo $ x > 0 $, a expressão $ a x + \frac{1}{x} $ é maior ou igual a $ 2 \sqrt{a} $. Vamos usar a desigualdade de AM-GM, que diz que para dois números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os dois termos que vamos aplicar a desigualdade de AM-GM. Vamos considerar $ a x $ e $ \frac{1}{x} $ como nossos dois números positivos, já que $ a > 0 $ e $ x > 0 $.

Passo 3

A média aritmética desses dois termos é:
a x + 1x2
E a média geométrica é:
raiza x cdot 1x = raiza
Segundo a desigualdade de AM-GM:
a x + 1x2 >= raiza

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2 para eliminar o denominador:
a x + 1x >= 2 raiza

Resposta

Portanto, para todo $ x > 0 $, temos que $ a x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{a} $.

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