Dados dois números
e
reais e positivos, chama-se média aritmética de
e
ao número
e chama-se média geométrica ao número
. Se
, mostre que
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O enunciado pede para, dados dois números reais positivos com 0<a<b, provar três desigualdades envolvendo a média aritmética
e a média geométrica
. Vamos usar noções básicas de desigualdades e propriedades de números positivos.
Passo 2
Como a<b e ambos são positivos, somamos a a ambos os lados:
Logo
Dividindo por 2 (positivo) temos
De modo análogo, partindo de a<b e somando b:
Isso mostra a primeira parte:
Passo 3
Para provar
, usamos que a<b>0:
Multiplicando a<b por a>0:
Multiplicando a<b por a>0:
Como a>0, podemos tirar raiz positiva:
Do outro lado, multiplicamos a<b por b>0:
Logo
Assim obtemos
Passo 4
Para mostrar
, consideramos o quadrado da diferença das raízes:
Expandindo:
Passando o termo de raiz para o outro lado:
Dividindo por 2:
Como a
b, a desigualdade é estrita:
Resposta
As três desigualdades foram provadas:
(a) ,
(b) ,
© .
(a)
(b)
©