Dados dois números a e b reais e positivos, chama-se média aritmética de a e b ao número a+b2 e chama-se média geométrica ao número raiza b. Se 0, mostre que
(a) a.
(b) a.
© raiza b.

Passo 1

O enunciado pede para, dados dois números reais positivos com 0<a<b, provar três desigualdades envolvendo a média aritmética tfraca+b2 e a média geométrica raiza b. Vamos usar noções básicas de desigualdades e propriedades de números positivos.

Passo 2

Como a<b e ambos são positivos, somamos a a ambos os lados:
a + a < a + b
Logo
2a < a + b
Dividindo por 2 (positivo) temos
a < a+b2.
De modo análogo, partindo de a<b e somando b:
a + b < b + b
a + b < 2b
a+b2 < b.
Isso mostra a primeira parte:
a < a+b2 < b.

Passo 3

Para provar a < raiza b < b, usamos que a<b>0:
Multiplicando a<b por a>0:
a^2 < a b
Como a>0, podemos tirar raiz positiva:
a < raiza b.
Do outro lado, multiplicamos a<b por b>0:
a b < b^2
Logo
raiza b < b.
Assim obtemos
a < raiza b < b.

Passo 4

Para mostrar raiza b < tfraca+b2, consideramos o quadrado da diferença das raízes:
(raiza - raizb)^2 >= 0
Expandindo:
a + b - 2raiza b >= 0
Passando o termo de raiz para o outro lado:
2raiza b <= a + b
Dividindo por 2:
raiza b <= a+b2.
Como a neb, a desigualdade é estrita:
raiza b < a+b2.

Resposta

As três desigualdades foram provadas:
(a) a,
(b) a,
© raiza b.

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