Sendo a e b números reais quaisquer, mostre que a^3 <= b^3 se, e somente se, a <= b.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede: precisamos mostrar que para quaisquer números reais a e b vale a^3 <= b^3 se, e somente se, a <= b. O conteúdo aqui é a monotonicidade da função f(x)=x^3, e usaremos a fatoração da diferença de cubos e análise de sinais.

Passo 2

Para comparar a^3 e b^3, considere a diferença b^3 - a^3. Se mostrarmos que b^3 - a^3 >= 0 acontece exatamente quando b - a >= 0, teremos a equivalência desejada.

Passo 3

Aplique a fatoração da diferença de cubos:
b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)

Passo 4

Agora, observe o fator quadrático b^2 + ab + a^2. Para quaisquer a,b in R temos
b^2 + ab + a^2 = l(a + tfrac b2r)^2 + tfrac3b^24 >= 0, e essa soma só é zero se a = b = 0. Logo, o fator b^2+ab+a^2 é sempre não negativo e, na prática, estritamente positivo, exceto num caso trivial. Portanto, o sinal de b^3 - a^3 coincide com o sinal de b - a.

Passo 5

Com isso concluímos que
b^3 - a^3 >= 0 Long<=ftrightarrow b - a >= 0, o que equivale a
a^3 <= b^3 Long<=ftrightarrow a <= b

Resposta

Como mostramos, para quaisquer reais a e b vale a^3 <= b^3 se, e somente se, a <= b.

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