Sendo
e
números reais quaisquer, mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede: precisamos mostrar que para quaisquer números reais
e
vale
se, e somente se,
. O conteúdo aqui é a monotonicidade da função
, e usaremos a fatoração da diferença de cubos e análise de sinais.
Passo 2
Para comparar
e
, considere a diferença
. Se mostrarmos que
acontece exatamente quando
, teremos a equivalência desejada.
Passo 3
Aplique a fatoração da diferença de cubos:
Passo 4
Agora, observe o fator quadrático
. Para quaisquer
temos
Passo 5
Com isso concluímos que
Resposta
Como mostramos, para quaisquer reais
e
vale
se, e somente se,
.