Se z=1-\imath e w=4 h, expresse os seguintes números na forma algébrica x+y i :
\operatorname{Im}\left(\bar{z} w^{3}\right)+16 i \operatorname{Re}\left(z w^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá \;z=1-\imath\; e \;w=4\; e pede para expressar na forma algébrica x+y\imath o número
\operatorname{Im}\!\left(\overline{z}\,w^{3}\right)+16\imath\,\operatorname{Re}\!\left(z\,w^{-1}\right).
Informações relevantes dadas: \;z=1-\imath\; e \;w=4\; (repare que w é um número real).

Passo 2

Vamos primeiro lembrar o que é conjugado e calcular \overline{z}.
Definição: se \;z=a+b\imath\; então o conjugado é \;\overline{z}=a-b\imath\;.
Aplicando a \;z=1-\imath\; (aqui a=1 e b=-1) obtemos
\overline{z}=1+\imath.

Passo 3

Calcular w^{3}. Como \;w=4\; e 4 é real,
w^{3}=4^{3}=64.
Agora multiplicamos \overline{z} por w^{3}:
\overline{z}\,w^{3}=(1+\imath)\cdot 64 = 64 + 64\imath.

Passo 4

Extraímos a parte imaginária de \overline{z}\,w^{3}.
Definição: se u=x+y\imath então \operatorname{Im}(u)=y.
Aplicando a \;64+64\imath\; temos
\operatorname{Im}\!\left(\overline{z}\,w^{3}\right)=64.

Passo 5

Agora tratamos a segunda parte: z\,w^{-1}.
Primeiro w^{-1} é o inverso multiplicativo de w. Como w=4,
w^{-1}=\frac{1}{4}.
Multiplicando por z:
z\,w^{-1}=(1-\imath)\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\imath.

Passo 6

Extraímos a parte real de z\,w^{-1}.
Definição: se v=x+y\imath então \operatorname{Re}(v)=x.
Aqui z\,w^{-1}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\imath, logo
\operatorname{Re}\!\left(z\,w^{-1}\right)=\frac{1}{4}.

Passo 7

Multiplicamos por 16\imath:
16\imath\cdot\operatorname{Re}\!\left(z\,w^{-1}\right)=16\imath\cdot\frac{1}{4}=4\imath.
Somamos com a parte obtida no Passo 4:
\operatorname{Im}\!\left(\overline{z}\,w^{3}\right)+16\imath\,\operatorname{Re}\!\left(z\,w^{-1}\right)=64+4\imath.

Resposta

64+4\imath

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