1 Dados dois vetores b=x+y e c=x+z, determine b+c, 5 b+2 c, b cdot c e b times c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial. A gente tem dois vetores, b = x + y e c = x + z. O objetivo é calcular a soma desses vetores, uma combinação linear deles, o produto escalar e o produto vetorial. Para isso, vamos usar operações básicas com vetores, como adição, multiplicação por escalar, produto escalar (também chamado de produto interno) e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma dos vetores b + c. A soma de vetores é feita somando componente a componente. Então:
b + c = (x + y) + (x + z) = 2x + y + z

Passo 3

Agora, vamos calcular 5b + 2c. Primeiro, multiplicamos cada vetor pelos seus respectivos escalares:
5b = 5(x + y) = 5x + 5y
2c = 2(x + z) = 2x + 2z
Agora, somamos os resultados:
5b + 2c = (5x + 5y) + (2x + 2z) = 7x + 5y + 2z

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar b cdot c. O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
b cdot c = (x + y) cdot (x + z) = x cdot x + x cdot z + y cdot x + y cdot z
Sabendo que x cdot x = 1 (pois é o mesmo vetor), e que x cdot z = y cdot x = y cdot z = 0 (porque vetores unitários diferentes são ortogonais), temos:
b cdot c = 1 + 0 + 0 + 0 = 1

Passo 5

Por último, vamos calcular o produto vetorial b times c. O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais. Para calcular, usamos a determinante da matriz formada pelos vetores unitários e pelas componentes dos vetores:
b times c = x & y & z 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Calculando a determinante:
b times c = x(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - y(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + z(1 cdot 0 - 1 cdot 1) = x(1) - y(1) + z(-1)
b times c = x - y - z

Resposta

A soma dos vetores é b + c = 2x + y + z, a combinação linear é 5b + 2c = 7x + 5y + 2z, o produto escalar é b cdot c = 1, e o produto vetorial é b times c = x - y - z.

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