14^* *. Um cubo de aresta a tem uma carga pontual positiva q em seu centro. Próximo ao cubo, e paralelo a duas de suas faces, há um plano infinito, de material isolante, carregado com uma densidade uniforme de carga positiva sigma. Calcule o fluxo do campo elétrico:
(a) na face do cubo paralela mais próxima do plano;
(b) na face oposta do cubo;
(c) em cada uma das outras faces.
(Dica: Você também pode resolver este problema sem fazer nenhuma conta, apenas usando a simetria. Porém, não deixe de fazer as contas para praticar 3)

Passo 1

O enunciado descreve um cubo de aresta a com carga pontual q em seu centro e um plano infinito carregado com densidade superficial sigma, paralelo a duas faces do cubo. Queremos o fluxo do campo elétrico Phi através de:
(a) face mais próxima do plano;
(b) face oposta;
(c) cada uma das outras quatro faces.
Para resolver, vamos usar o princípio de superposição (campo do plano + campo da carga pontual) e a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, o campo produzido pelo plano infinito uniformemente carregado é uniforme e dado por
Epl = sigma2varepsilon0
em módulo, apontando para fora do plano. Dentro do cubo, ele incide perpendicularmente às duas faces paralelas ao plano e é paralelo às demais faces (logo, não atravessa estas).

Passo 3

Cálculo do fluxo do campo do plano pelas faces paralelas: seja A=a^2 a área de cada face.
  • Face próxima ao plano: o vetor normal externo hat n aponta em direção ao plano, mas o campo do plano lá aponta para longe do plano, isto é, oposto a hat n. Então
Phipl,,próx = Epl,( -A ) = -sigma2varepsilon0,a^2 ó
  • Face oposta: hat n e Epl têm o mesmo sentido,
Phipl,,opp = +sigma2varepsilon0,a^2
  • Cada uma das outras faces está perpendicular a Epl, logo
Phipl,,outras = 0

Passo 4

Agora a carga pontual q está exatamente no centro do cubo. Pela simetria, o fluxo dessa carga distribui-se igualmente nas seis faces. E pela Lei de Gauss para a carga pontual (o plano não contribui à carga interna), o fluxo total é
sumfacesPhiq = qvarepsilon0 Longrightarrow Phiq(cada face) = q6varepsilon0

Passo 5

Pela superposição, o fluxo total em cada face é soma dos fluxos do plano e da carga pontual:
  • face próxima:
    Phipróx = q6varepsilon0 - sigma,a^22varepsilon0ó
  • face oposta:
    Phiopp = q6varepsilon0 + sigma,a^22varepsilon0
  • cada uma das outras faces:
    Phioutra = q6varepsilon0 + 0 = q6varepsilon0

Resposta

(a) Phipróx = q6varepsilon0 ;-; sigma,a^22varepsilon0ó
(b) Phiopp = q6varepsilon0 ;+; sigma,a^22varepsilon0
(c) Para cada uma das outras quatro faces,
Phi = q6varepsilon0

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