5 Na Seção 1.5, mostramos que a terceira lei de Newton implica a conservação do momento. Mostre o contrário, que, se a lei da conservação do momento se aplica para todos os grupos de partículas, então as forças interpartículas devem obedecer à terceira lei. [Sugestão: embora seu sistema contenha muitas partículas, você pode dirigir sua atenção sobre apenas duas delas. (Denomine-as 1 e 2.) A lei de conservação do momento diz que, se não há forças externas sobre este par de partículas, então o momento total delas deve ser constante. Use isso para mostrar que F12=-F21.]

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que está falando sobre a relação entre a conservação do momento e a terceira lei de Newton. A ideia principal é mostrar que se a conservação do momento vale para qualquer grupo de partículas, então as forças entre essas partículas têm que seguir a terceira lei de Newton, ou seja, se a partícula 1 exerce uma força na partícula 2, a partícula 2 exerce uma força igual e oposta na partícula 1. Para resolver isso, vamos focar em duas partículas e usar a conservação do momento para chegar a essa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de uma partícula. O momento p de uma partícula é dado por:
p = m v
onde m é a massa e v é a velocidade da partícula.

Passo 3

A conservação do momento diz que, se não há forças externas atuando no sistema, o momento total das partículas permanece constante ao longo do tempo. Para duas partículas, isso significa que:
p1 + p2 = constante

Passo 4

Agora, vamos derivar essa expressão em relação ao tempo para ver como ela se relaciona com as forças:
ddt(p1 + p2) = dp1dt + dp2dt = F1 + F2 = 0
Como o momento total é constante, a taxa de variação dele é zero, ou seja, F1 + F2 = 0.

Passo 5

As forças F1 e F2 são as forças que as partículas 1 e 2 exercem uma sobre a outra. Vamos chamar F12 de força que a partícula 1 exerce na partícula 2 e F21 de força que a partícula 2 exerce na partícula 1. Então temos:
F12 = F2 e F21 = F1

Passo 6

Substituindo na equação da conservação do momento:
F1 + F2 = 0 F21 + F12 = 0 F12 = -F21
Isso mostra que a força que a partícula 1 exerce na partícula 2 é igual e oposta à força que a partícula 2 exerce na partícula 1.

Resposta

Então, provamos que se a conservação do momento vale para todas as partículas, as forças interpartículas obedecem à terceira lei de Newton, ou seja, F12 = -F21.

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