5 Na Seção 1.5, mostramos que a terceira lei de Newton implica a conservação do momento. Mostre o contrário, que, se a lei da conservação do momento se aplica para todos os grupos de partículas, então as forças interpartículas devem obedecer à terceira lei. [Sugestão: embora seu sistema contenha muitas partículas, você pode dirigir sua atenção sobre apenas duas delas. (Denomine-as 1 e 2.) A lei de conservação do momento diz que, se não há forças externas sobre este par de partículas, então o momento total delas deve ser constante. Use isso para mostrar que
.]
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que está falando sobre a relação entre a conservação do momento e a terceira lei de Newton. A ideia principal é mostrar que se a conservação do momento vale para qualquer grupo de partículas, então as forças entre essas partículas têm que seguir a terceira lei de Newton, ou seja, se a partícula 1 exerce uma força na partícula 2, a partícula 2 exerce uma força igual e oposta na partícula 1. Para resolver isso, vamos focar em duas partículas e usar a conservação do momento para chegar a essa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de uma partícula. O momento
de uma partícula é dado por:
onde
é a massa e
é a velocidade da partícula.
Passo 3
A conservação do momento diz que, se não há forças externas atuando no sistema, o momento total das partículas permanece constante ao longo do tempo. Para duas partículas, isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos derivar essa expressão em relação ao tempo para ver como ela se relaciona com as forças:
Como o momento total é constante, a taxa de variação dele é zero, ou seja,
.
Passo 5
As forças
e
são as forças que as partículas 1 e 2 exercem uma sobre a outra. Vamos chamar
de força que a partícula 1 exerce na partícula 2 e
de força que a partícula 2 exerce na partícula 1. Então temos:
Passo 6
Substituindo na equação da conservação do momento:
Isso mostra que a força que a partícula 1 exerce na partícula 2 é igual e oposta à força que a partícula 2 exerce na partícula 1.
Resposta
Então, provamos que se a conservação do momento vale para todas as partículas, as forças interpartículas obedecem à terceira lei de Newton, ou seja,
.