*** Dados dois vetores definidos em coordenadas cartesianas por
e
. Determine o vetor
em módulo, direção e sentido, de modo que, ao ser somado
, resulta um vetor dado por
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede que encontremos um vetor
em módulo, direção e sentido tal que, ao somá‑lo com
, o resultado seja
.\n
Informações relevantes fornecidas:
.\n
.\n
.\n
O que o problema pede: determinar (suas componentes), depois seu módulo, sua direção (vetor unitário) e o sentido (para onde aponta).
Informações relevantes fornecidas:
O que o problema pede: determinar
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever os vetores em componentes 3D (colocando zero onde não há componente mostrada). Isto é útil para fazer produto vetorial e subtrações componente a componente.\n
porque não foi dada componente em
, então é
.\n
porque a componente em
não foi dada, então é
.\n
porque não há componente em
.
Passo 3
Vamos lembrar o que é o produto vetorial (cross product) e como calculá‑lo.\n
Definição prática: para e
, o produto vetorial
tem componentes dadas por
Definição prática: para
Interpretação rápida de cada letra:
é a componente de
em
(i),
é a componente de
em
(j), etc. O produto vetorial resulta num vetor perpendicular a ambos
e
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com
e
.\n
Calcule cada componente:
Calcule cada componente:
Portanto
Passo 5
O enunciado exige que
.\n
Isolamos :
Isolamos
Isto significa subtrair componente a componente.
Passo 6
Fazemos a subtração componente a componente usando
e
:
Logo
Passo 7
Agora vamos calcular o módulo (norma) de
. Fórmula para norma de
:
Aplicando:
Simplificando
:
, então
(se quiser uma aproximação decimal:
, mas valor exato
é preferível.)
Passo 8
Direção (vetor unitário): o vetor unitário
tem a mesma direção de
e é obtido dividindo cada componente pelo módulo:
Simplificando cada fração:
Passo 9
Sentido: o sentido do vetor é o mesmo do vetor unitário calculado. Observando as componentes de
, todas são positivas, portanto o sentido é para o “primeiro octante” (aponta nas direções positivas de
,
e
). Em palavras amiguinhas: aponta para frente‑direita‑para cima, no sentido positivo dos eixos.
Resposta
direção (vetor unitário):
sentido: aponta para o primeiro octante (componentes