*** Dados dois vetores definidos em coordenadas cartesianas por \overrightarrow{\mathrm{A}}=3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath} e \overrightarrow{\mathrm{B}}= -\hat{\imath}+5 \hat{k}. Determine o vetor \vec{C} em módulo, direção e sentido, de modo que, ao ser somado \operatorname{com} \overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}, resulta um vetor dado por \overrightarrow{\mathrm{R}}=4 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \overrightarrow{A}=3\hat{\imath}-2\hat{\jmath} e \overrightarrow{B}=-\hat{\imath}+5\hat{k} e pede que encontremos um vetor \vec{C} em módulo, direção e sentido tal que, ao somá‑lo com \overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}, o resultado seja \overrightarrow{R}=4\hat{\imath}-3\hat{\jmath}.\n
Informações relevantes fornecidas:
\overrightarrow{A}=3\hat{\imath}-2\hat{\jmath}.\n
\overrightarrow{B}=-\hat{\imath}+5\hat{k}.\n
\overrightarrow{R}=4\hat{\imath}-3\hat{\jmath}.\n
O que o problema pede: determinar \vec{C} (suas componentes), depois seu módulo, sua direção (vetor unitário) e o sentido (para onde aponta).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever os vetores em componentes 3D (colocando zero onde não há componente mostrada). Isto é útil para fazer produto vetorial e subtrações componente a componente.\n
\overrightarrow{A}=(3,\,-2,\,0) porque não foi dada componente em \hat{k}, então é 0.\n
\overrightarrow{B}=(-1,\,0,\,5) porque a componente em \hat{\jmath} não foi dada, então é 0.\n
\overrightarrow{R}=(4,\,-3,\,0) porque não há componente em \hat{k}.

Passo 3

Vamos lembrar o que é o produto vetorial (cross product) e como calculá‑lo.\n
Definição prática: para \overrightarrow{A}=(A_x,A_y,A_z) e \overrightarrow{B}=(B_x,B_y,B_z), o produto vetorial \overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B} tem componentes dadas por
(\;A_yB_z - A_zB_y,\; A_zB_x - A_xB_z,\; A_xB_y - A_yB_x\;).
Interpretação rápida de cada letra: A_x é a componente de \overrightarrow{A} em x (i), B_y é a componente de \overrightarrow{B} em y (j), etc. O produto vetorial resulta num vetor perpendicular a ambos \overrightarrow{A} e \overrightarrow{B}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com \overrightarrow{A}=(3,-2,0) e \overrightarrow{B}=(-1,0,5).\n
Calcule cada componente:
\text{componente }x: A_yB_z - A_zB_y = (-2)\cdot 5 - 0\cdot 0 = -10.
\text{componente }y: A_zB_x - A_xB_z = 0\cdot(-1) - 3\cdot 5 = -15.
\text{componente }z: A_xB_y - A_yB_x = 3\cdot 0 - (-2)\cdot(-1) = 0 - 2 = -2.
Portanto
\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=(-10,\,-15,\,-2)= -10\hat{\imath}-15\hat{\jmath}-2\hat{k}.

Passo 5

O enunciado exige que \vec{C} + (\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}) = \overrightarrow{R}.\n
Isolamos \vec{C}:
\vec{C} = \overrightarrow{R} - (\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}).
Isto significa subtrair componente a componente.

Passo 6

Fazemos a subtração componente a componente usando \overrightarrow{R}=(4,-3,0) e \overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=(-10,-15,-2):
C_x = 4 - (-10) = 4 + 10 = 14,
C_y = -3 - (-15) = -3 + 15 = 12,
C_z = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2.
Logo
\vec{C}=(14,\,12,\,2)=14\hat{\imath}+12\hat{\jmath}+2\hat{k}.

Passo 7

Agora vamos calcular o módulo (norma) de \vec{C}. Fórmula para norma de \vec{C}=(C_x,C_y,C_z):
\|\vec{C}\|=\sqrt{C_x^{2}+C_y^{2}+C_z^{2}}.
Aplicando:
\|\vec{C}\|=\sqrt{14^{2}+12^{2}+2^{2}}=\sqrt{196+144+4}=\sqrt{344}.
Simplificando \sqrt{344}: 344=4\cdot 86, então
\|\vec{C}\|=2\sqrt{86}.
(se quiser uma aproximação decimal: 2\sqrt{86}\approx 18{,}547, mas valor exato 2\sqrt{86} é preferível.)

Passo 8

Direção (vetor unitário): o vetor unitário \hat{u}_C tem a mesma direção de \vec{C} e é obtido dividindo cada componente pelo módulo:
\hat{u}_C=\frac{\vec{C}}{\|\vec{C}\|}=\left(\frac{14}{2\sqrt{86}},\,\frac{12}{2\sqrt{86}},\,\frac{2}{2\sqrt{86}}\right).
Simplificando cada fração:
\hat{u}_C=\left(\frac{7}{\sqrt{86}},\,\frac{6}{\sqrt{86}},\,\frac{1}{\sqrt{86}}\right).

Passo 9

Sentido: o sentido do vetor é o mesmo do vetor unitário calculado. Observando as componentes de \vec{C}=(14,12,2), todas são positivas, portanto o sentido é para o “primeiro octante” (aponta nas direções positivas de x, y e z). Em palavras amiguinhas: aponta para frente‑direita‑para cima, no sentido positivo dos eixos.

Resposta

\vec{C}=14\hat{\imath}+12\hat{\jmath}+2\hat{k}\n
\|\vec{C}\|=2\sqrt{86}\n
direção (vetor unitário): \displaystyle \hat{u}_C=\left(\frac{7}{\sqrt{86}},\,\frac{6}{\sqrt{86}},\,\frac{1}{\sqrt{86}}\right)\n
sentido: aponta para o primeiro octante (componentes x,y,z positivas).

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